IZhO 2018 задача 2

Вопросы возникли при решении пункта 2.4, тут речь шел про насыщенный пар и давление насыщенных паров, я подразумевал что нужно использовать уравнение Клазиуса-Клайперона тем самым подставляя p2,T2 в это уравнение найти удельную теплоту парообразования, ну и потом найти то что просят
Это выглядело бы примерно так.

\frac{dP}{dT} = \frac{\mu pL}{ RT^2}
P = P_0 \exp \left(\frac{L \mu}{R} \left(\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}\right)\right)

ну собсна подставив P_2 , T_2 находим L и дальше все просто, но в решении все по-другому, они предположили, что давление насыщенных паров в этом диапазоне зависит линейно от температуры(откуда?) и в целом если преследовать моей методике, то ответ получиться вообще не тот, даже L будет отличаться от реального L , не понимаю что тут не так. И зачем оффициальное решение такое
Screenshot_285
Screenshot_286
!Screenshot_284

Не забывай, что тут P_0 является давлением насыщенного водяного пара при 373 К, то есть нужно подставлять T_1, а не T_0.

А вообще в чём проблема? Авторы в решении просто взяли более простую аппроксимацию, и в сущности твой ответ ничем не будет отличаться от официального, если в конце получить верное выражение

В предыдущих пунктах ты должен был получить, что в адиабатической модели атмосферы давление на высоте H=1500 \space м равен p_H=84.6\cdot 10^3 \space Па:
А значит нам нужно найти T, определяемый из следующего уравнения:

p_H = p_0 \exp \left(\frac{L \mu_{H_2O}}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T}\right)\right)

Мы сначала получаем такое уравнение:

p_2 = p_0 \exp \left(\frac{L \mu_{H_2O}}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)\right)

Можно выразить L\mu_{H_2O}/R:

\frac{L\mu_{H_2O}}{R}=\ln \left(\frac{p_2}{p_0}\right)\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)^{-1}

(причём мы получим L=2.289 \space \text{МДж/кг} – очень близкое к истине число) и подставить его в уравнение для p_H:

p_H = p_0 \exp \left(\ln \left(\frac{p_2}{p_0}\right) \cdot \frac{1/T_1 - 1/T}{1/T_1-1/T_2}\right)

Теперь выразим T:

T=\frac{T_1}{1-(1-T_1/T_2)\frac{\ln(p_H/p_0)}{\ln(p_2/p_0)}}=368.0118 \space К.

Получился численный ответ, идеально сходящийся с авторским. Когда я, кстати, сам прорешивал этот год, то делал так же, как и ты) Думаю, на олимпиаде за такое бы выставили полный балл, поскольку это решение так же верно

Конечное выражение, конечно, можно привести к авторскому. Если использовать приближение для логарифма от числа, несильно отличающегося от 1 (0.846/1.013 несильно отличается от 1, ага да), то получается, что

\frac{\ln(p_H/p_0)}{\ln(p_2/p_0)}\approx \frac{p_H-p_0}{p_2-p_0}

Относительная ошибка такого приближения составляет 5.6\%. Дальше можно заметить, что 1-T_1/T_2 близок к нулю (-0.022), а значит используем 1/(1-x) \approx 1+x:

T=T_1 + \frac{p_H-p_0}{p_2-p_0}(T_1-T_1^2/T_2)

T_1 и T_2 отличаются всего на 8 кельвинов, так что это очень близкое сходство с линейной аппроксимацией.

3 симпатии

спасибо я дебил, неправильно поставил числа вот и ответ не тот получался

© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)