Вывод формул в кинетике

Screenshot_2022_0618_150158
Как из этого получить


Это уравнение?

Довольно стандартное, но все таки красивое интегрирование.

Для начала предположим, что в системе изначально имеется только в-во \ce{A} с концентрацией \ce{[A]_{0}}. Тогда спустя какое-то кол-во времени, в системе будут присутствовать в-ва \ce{A, I,P} с концентрациями \ce{[A], [I], [P]}, соответственно. Отсюда думаю нетрудно заметить, что поскольку стехиометрические коэффициенты перед каждым в-вом равны, справедливо сказать, что

\ce{[A]_{0}= [A] + [I] + [P]}

Наша задача состоит в том, чтобы выразить текущие концентрации веществ \ce{A} и \ce{I} через начальную концентрацию в-ва \ce{A}, константы скорости, и время. Как это сделать ?

Начнем с в-ва \ce{A}. Думаю, довольно понятно, что скорость расходования этого в-ва будет прямо пропорциональна концентрации этого в-ва, и константой пропорциональности является k_{a}

\ce{-\frac{d[A]}{dt} = k_{a}[A]}

Интегрируем это выражение, и выражаем текущую концентрацию в-ва \ce{A} , и получаем знакомое нам уравнение \ce{[A] = [A]_{0} \cdot e^{-k_{a}t}}.

Теперь, напишем такое же кинетическое уравнение для в-ва \ce{I} :

\ce{\frac{d[I]}{dt} = k_{a}[A] - k_{b}[I]}

Заменяем текущую концентрацию в-ва \ce{A} , и получаем

\ce{\frac{d[I]}{dt}=k_{a}[A]_{0}e^{-k_{a}t}-k_{b}[I]}
\ce{\frac{d[I]}{dt}+k_{b}[I] = k_{a}[A]_{0}e^{-k_{a}t}}

Вот здесь и начинается самое интересное. Давай вспомним знаменитое правило \ce{(uv)' = u'v + v'u}, где \ce{u' = \frac{d[I]}{dt}}. Однако, как можно заметить, у нас отсутствует функция \ce{v_}, но при этом известно что производная этой функции равна \ce{k_{b}}. Как же быть ?

Ответ довольно таки интересный. Чтобы придти к нему, нам надо ответить на вопрос : “производная какой функции будет равна k_{b}, так еще и зависела от времени” ? И на ум в первую очередь приходит функция \ce{e^{k_{b}t}}. Действительно, если умножить все на \ce{e^{k_{b}t}}, то получим следующее :

\ce{\frac{d[I]}{dt}e^{k_{b}t} +k_{b}[I]e^{k_{b}t} = k_{a}[A]_{0}e^{(k_{b}-k_{a})t}}

Теперь, можно заменить левую часть на \ce{\frac{d([I]e^{k_{b}t})}{dt}} :

\ce{\frac{d([I]e^{k_{b}t})}{dt} = k_{a}[A]_{0}e^{(k_{b}-k_{a})t}}
\ce{\int_ d([I]e^{k_{b}t}) = k_{a}[A]_{0} \int e^{(k_{b}-k_{a})t}dt}

Попробуй сам проинтегрировать, и получить почти что готовую формулу :

\ce{[I] = \frac{k_{a}[A]_{0}}{k_{b} -k_{a}}(e^{-k_{a}t}-e^{-k_{b}t})}

Чтобы проверить правильность нашего вывода, можно предположить, что имеет место быть квазистационарному приближению, при котором \ce{k_{b} >> k_{a}}. В таком случае, \ce{[I] = \frac{k_{a}}{k_{b}}[A]_{0}e^{-k_{a}t}= \frac{k_{a}}{k_{b}}[A]}, что полностью соответствует действительности, ибо по приближению, скорость образования \ce{I} равна скорости его расходования (\ce{k_{a}[A] = k_{b}[I]}).

Что-ж… Теперь осталось просто напросто заменить эти выражения в уравнении материального баланса, и тогда получится, что

\ce{[A]_{0}=[A]_{0}e^{-k_{a}t} + \frac{k_{a}[A]_{0}}{k_{b} -k_{a}}(e^{-k_{a}t}-e^{-k_{b}t}) + [P]}
\ce{[P] = [A]_{0}(1 - e^{-k_{a}t} - \frac{k_{a}}{k_{b} -k_{a}}(e^{-k_{a}t}-e^{-k_{b}t}))}
\ce{[P] = [A]_{0}(1 + \frac{k_{a}e^{-k_{b}t} - k_{b}e^{-k_{a}t}}{k_{b} -k_{a}})}
4 симпатии

Спасибо огромное)