Задача на делимость

Find all integers n such that (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3
is divisible by 18

n^3 + ((n-1)^3 + (n+1)^3) =
=n^3 + ((n-1) + (n+1))((n-1)^2 - (n-1)(n+1) + (n+1^2)) =
=n^3 +(2n)(n^2 + 3) = 3n\cdot(n^2 + 2) \implies 18 \mid 3n\cdot(n^2 + 2) \iff 6 \mid n\cdot(n^2+2) \iff 2 \mid n\cdot(n^2 + 2), 3 \mid n\cdot(n^2 + 2) - выполняются оба
Рассмотрим делимость n(n^2 + 2) на 2
Заметим что если 2 \nmid n \implies 2 \nmid n^2 \implies 2 \nmid n^2 + 2 \implies 2 \nmid n \cdot (n^2 + 2)
При этом если 2 \mid n \implies 2 \mid n\cdot(n^2 + 2) - это хорошо \implies 2 \mid n

Рассмотрим делимость n(n^2 + 2) на 3
Заметим что если 3 \mid n \implies 3 \mid n \cdot(n^2 + 2) \implies 3 \mid n - подходит
Если 3 \nmid n \implies n^2 \equiv 1 \mod {3} \implies 3 \mid n^2 + 2 \implies 3 \mid n \cdot n(n^2 + 2) \implies 3\nmid n - подходит

Значит что любые n: 2\mid n - подходят

4 симпатии