подскажите как вывести [B],я пробовала в черновике решать чет не получилось,или есть ли какой то другой метод ; (как дальше решать я знаю,просто нужно В вывести)
3 лайка
Если вы заметили, то легко решать уравнение вида:
\frac{d[A]}{dt}= -k[A]
Поэтому, нам надо как-то родить такое же уравнение для [B]
Если посмотрите на систему:
\begin{aligned}
\frac{d[A]}{dt}&= -k_1[A] \\
\frac{d[B]}{dt}&= k_1[A] - (k_{-1}+k_2)[B]\\
\frac{d[C]}{dt}&=k_2[B]
\end{aligned}
То это очень напоминает систему уравнений линейную, я не буду поднимать тут тему линала, но будто можно как-то сконструировать некий [X] из [A] [B], чтобы \frac{d[X]}{dt}= -k_x[X]
Попробуйте с помощью системы подобрать такую [X]= c_1[A]+c_2[B], чтобы \frac{d[X]}{dt}= -k_x[X] Это не сложно, если вы производную от [X]= c_1[A]+c_2[B] возьмете и используете соотношения из системы. то легко подберете c_1 и c_2, так как нам важно именно соотношение, то c_1 или c_2 можно выбрать заранее каким-то удобным числом, к примеру c_2 = 1, и всё еще проще [X]= c[A]+[B]
Попробуйте решить сами сначала, но я тут решение оставлю…
Спойлер
Давайте прямо в лоб возьмём производную от нашей комбинации [X] = c_1[A] + c_2[B]:
\frac{d[X]}{dt} = c_1 \frac{d[A]}{dt} + c_2 \frac{d[B]}{dt}
Подставляем сюда правые части из нашей системы:
\frac{d[X]}{dt} = c_1 \Big(-k_1[A]\Big) + c_2 \Big(k_1[A] - (k_{-1}+k_2)[B]\Big)
Раскрываем скобки и группируем слагаемые при [A] и [B]:
\frac{d[X]}{dt} = (c_2 k_1 - c_1 k_1)[A] - c_2(k_{-1}+k_2)[B]
А теперь вспоминаем, чего мы вообще хотели! Мы хотели, чтобы выполнялось равенство:
\frac{d[X]}{dt} = -k_x [X] = -k_x c_1 [A] - k_x c_2 [B]
Сравниваем коэффициенты при [A] и [B] в обоих выражениях и получаем аккуратную систему на c_1, c_2 и k_x:
\begin{cases}
c_2 k_1 - c_1 k_1 = -k_x c_1 \\ -c_2(k_{-1}+k_2) = -k_x c_2
\end{cases}
Смотрите, второе уравнение это вообще подарок. Если мы возьмём c_2 \neq 0 (например, просто c_2 = 1, чтобы не усложнять себе жизнь), то из второго уравнения константа k_x находится мгновенно:
k_x = k_{-1} + k_2
Теперь подставляем найденный k_x и c_2 = 1 в первое уравнение, чтобы выразить c_1:
1 \cdot k_1 - c_1 k_1 = -(k_{-1} + k_2) c_1
Переносим всё с c_1 в одну сторону:
k_1 = c_1 \Big(k_1 - k_{-1} - k_2\Big) \implies c_1 = \frac{k_1}{k_1 - k_{-1} - k_2}
Мы родили ту самую величину [X]:
[X] = \frac{k_1}{k_1 - k_{-1} - k_2}[A] + [B]
Для неё уравнение действительно имеет вид \frac{d[X]}{dt} = -k_x [X], а значит, её решение пишется в одну строчку:
[X](t) = [X]_0 e^{-k_x t} = \left( \frac{k_1}{k_1 - k_{-1} - k_2}[A]_0 + [B]_0 \right) e^{-(k_{-1}+k_2)t}
Как теперь раскрутить всё обратно к [B]?
Вспоминаем определение [X] и просто выражаем из него [B]:
[B](t) = [X](t) - \frac{k_1}{k_1 - k_{-1} - k_2}[A](t)
Поскольку [A](t) = [A]_0 e^{-k_1 t} мы уже умеем находить с закрытыми глазами, подставляем всё в одну кучу:
[B](t) = \frac{k_1 [A]_0}{k_1 - k_{-1} - k_2} \Big( e^{-(k_{-1}+k_2)t} - e^{-k_1 t} \Big) + [B]_0 e^{-(k_{-1}+k_2)t}
Вот и вся магия линала без самого линала! Мы просто нашли удачную линейную комбинацию, раскрутили простейшее диффуравнение и выразили нужную нам концентрацию [B].
5 лайков