January 2023
Можете,пожалуйста,объяснить откуда взялась данная формула?
Условие самой задачи:
Термос представляет собой сосуд с двойными стенками, пространство между которыми заполнено гелием. Известно, что расстояние между стенками, общая площадь поверхности которых составляет S=0,05 м^-2, значительно меньше длины свободного пробега атомов гелия. В термос наливают воду массой при температуре кипения T=373 K, удельная теплоемкость которой составляет c=4200 Дж/кг°С
Гелий в колбе имеет давление при средней температурe Tср=T+T0/2 , где T0=273 K—комнатная температура. Молярная масса гелия 4 г/моль, универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/моль К . Используя приведенные характеристики, оцените время остывания кипяченой воды в термосе на dT=5 K.
January 2023
Как ты мог знать, “традиционно” среднеквадратичная скорость молекулы равна \sqrt{\overline{v^2}}=\displaystyle\frac{3kT}{m}. Она получается из тех соображений, что кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна \displaystyle\frac{3}{2}kT, или же
\frac{m\langle v^2\rangle}{2}=\frac{3}{2}kT.
В этой же задаче подразумевается, что поскольку
расстояние между стенками … , значительно меньше длины свободного пробега атомов гелия,
то движение молекул “от стенки к стенке” чисто одномерное (поскольку остальные проекции скоростей роли не играют). Исходя из теоремы о равнораспределении (которую @Damir однажды выводил, исходя из распределения Больцмана и условия, что потенциальная энергия молекулы квадратично зависит от её обобщённой координаты), на каждую степень свободы молекулы приходится kT/2 энергии. А значит среднеквадратичная трёхмерная скорость – это, на самом деле, трижды среднеквадратичная одномерная скорость молекулы:
\langle v^2\rangle = \langle v_x^2\rangle+\langle v_y^2\rangle+\langle v_z^2\rangle = 3\langle v_x^2\rangle\quad\Rightarrow\quad \langle v_x^2\rangle = \frac{kT}{2m}.
Авторы решили “пренебречь разницей между холодной и горячей стенками” и в качестве единой среднеквадратичной скорости взяли скорость по усреднённой температуре, то есть
\langle v_x^2\rangle=\frac{k\langle T\rangle}{2m},\quad\text{где}\quad \langle T\rangle =\frac{T+T_0}{2},
и комический эффект заключается в том, что они, получается, забыли дополнительную двойку в записи \displaystyle\sqrt{\langle v_x^2\rangle} = \sqrt{\frac{k(T+T_0)}{4m}}.
В любом случае в условии задачи проговаривалось, что время остывания нужно оценить, а значит [в теории] можно как учитывать различие между скоростями при соответствующих температурах, так и брать любой адекватный коэффициент при v\propto\displaystyle\sqrt\frac{kT}{m}.
В качестве дополнительной тренировки предлагаю порешать задачу 1A старшей лиги Beyond Olympiad 2. Здесь при составлении как раз была использована формула среднеквадратичной скорости одномерного движения, и + в решении для простоты пренебрегли существенным различием между \langle v_x^2\rangle и \langle v_x\rangle.
1 ответ
January 2023
Хорошо,спасибо.Я понял вас,но у меня возник вопрос:насколько усложнится решение,если различием скоростей не пренебрегать?
January 2023
Значение средней скорости одномерного движения \displaystyle\langle v_x\rangle =\sqrt\frac{kT}{2\pi m}, поэтому в решении нашей задачи, по идее, нужно было писать
\varepsilon_1=\frac{m\langle v_1^2\rangle}{2},\quad\varepsilon_0=\frac{m\langle v_0^2\rangle}{2},\quad\Delta t = L\left(\frac{1}{\langle v_1\rangle}+\frac{1}{\langle v_0\rangle}\right).
Это всего лишь добавит некоторые постоянные коэффициенты (и вроде как ответ станет меньше в \sqrt\pi раз), так что это несущественно для оценки.
December 2023
В решении экспериментального тура не совсем разобрался каким образом нашли погрешность массовой доли. Как они дошли до таких чисел в формуле? (предпоследняя формула)
December 2023
▶ A_N_U_A_R
sophia
истинный кварк
@A_N_U_A_R, я готов помочь вам в постижении знаний. Рассмотрим вопрос, который вас интересует.
Рассчитывая погрешность массовой доли, необходимо использовать правила дифференциального исчисления и принципы распространения неопределенностей.
Массовая доля, \epsilon_m , выражена через молярные массы воды ( M_{H_2O} ) и гелия ( M_{He} ), а также через молярное содержание пара, \epsilon , следующим образом:
$$ \epsilon_m = \frac{\epsilon M_{H_2O}}{\epsilon M_{H_2O} + (1 - \epsilon) M_{He}} $$
Для нахождения погрешности массовой доли, \Delta \epsilon_m , используется формула, которая основана на производной массовой доли по переменной \epsilon :
$$ \Delta \epsilon_m = \frac{\partial \epsilon_m}{\partial \epsilon} \Delta \epsilon $$
В данном случае нас интересует производная \frac{\partial \epsilon_m}{\partial \epsilon} , которая была найдена и представлена в вашем документе как:
$$ \frac{\partial \epsilon_m}{\partial \epsilon} = \frac{108}{(29 - 15y)^2} $$
Значение \Delta \epsilon (погрешность \epsilon ), равное 0.03, было дано прежде, и используя это значение, можно вычислить абсолютную погрешность \Delta \epsilon_m :
$$ \Delta \epsilon_m = \frac{108}{(29 - 15y)^2} \Delta \epsilon = \frac{108}{(29 - 15y)^2} \cdot 0.03 $$
Затем относительная погрешность массовой доли вычисляется как:
$$ \frac{\Delta \epsilon_m}{\epsilon_m} \times 100% $$
Используя данное значение абсолютной погрешности и значение массовой доли, вы можете найти относительную погрешность.
Чтобы полностью понять процесс, вам следует вникнуть в методы дифференцирования функций и правила распространения погрешностей. Это позволит вам не только следовать расчетам, но и самостоятельно их проводить для других величин.
