В этой теме обсуждаем задачи oblast олимпиады 2020 года
Это обсуждение публикации https://olympiads.bc-pf.org/math/oblast/2020/10
Это обсуждение публикации https://olympiads.bc-pf.org/math/oblast/2020/10
Помогите с решением задачи, пожалуйста. Прошу подробного решения с указанием всех деталей и нюансов. Буду вам безмерно благодарен, если в конце укажите идею или способы решения подобных задач.
Достаточно контринтуетивная задача, считаю, но тут упор идет в построение примера.
Заметим что пример
a_1 = -1, a_2 = -1 , \ldots a_9 = 2
a_{10} = -1, a_{11} = -1, \ldots a_{18} = 2
a_{82} = -1, a_{83} = -1, \ldots, a_{90} = 2
Несложно заметить что он подходит и при нем \displaystyle{\sum_{i = 1}^{90}a^2_i} = 120
На самом деле этот пример построен принципом
i) загнать как можно больше чисел в предел -1, то есть единственно ограничение которое нам дано
ii) понадеятся что разбив их на участки (тут мы разбили на участки по 9 чисел), и сделав условие как бы под 9, а не под 90, того что \displaystyle{\sum_{i = 1}^{90}}a_i^3 = 0,
заменить на \displaystyle{\sum_{i=1}^9a_i^3=0}.
Докажем что нельзя сделать больше.
Зная пример случай (понадеявишсь что этот пример дает наибольшее значение), можно придумать функцию f(a_i), такую что
i) f(a_i) \geq 0, \forall i \in \{1, 2, \ldots, 90\}
ii) f(a_i) = 0 \iff a_i = -1, 2
Это мотивируется тем что если мы проссумируем f(a_i), при i = 1, 2, \ldots, то
\displaystyle{\sum_{i=1}^{90} f(a_i)} \geq 0, и самое важное это выполняется \iff a_i \in \{-1, 2\}, пойми это.
Насчет выбора функции, самая простая функция многочлен (зачастую), тогда можно взять f(x) = (x-1)(x-2)^2,
несложно проверить что она удовлетворяет условиям i), ii)
Тогда 0 \leq \displaystyle{\sum_{i = 1}^{90}f(a_i)} = \sum_{i=1}^{90}a_i^3 - \sum_{i=1}^{90}{3a_i^2} + 90\cdot4 (раскрыли скобки получили) \implies
\displaystyle{\sum_{i=1}^{90}}3a_i^2 \leq \sum_{i=1}^{90}{a_i^3} + 90\cdot4 = 360 \implies \sum_{i=1}^{90}{a_i^2} \leq120, то есть нам повезло с функцией которая при суммировании дала нам нужную оценку
3 лайка
БОО возьмём a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \ldots \leq a_{90}. Пусть k - количество всех отрицательных чисел среди a_i. Несложно понять, что \sum^{90}_{i=1}a^2_i достигает максимума, когда все отрицательные числа равны -1. В таком случае \sum^{90}_{i=k+1}a^3_i=k. По неравенству о средних
\sqrt{\frac{\sum^{90}_{i=k+1}a^2_i}{90-k}} \leq \sqrt[3]{\frac{k}{90-k}}. Пусть сумма квадратов всех положительных a_i будет равна a, тогда a \leq \sqrt[3]{k^2(90-k)}. Отсюда выходит, что искомое число не больше, чем \sqrt[3]{k^2(90-k)}+k. Взяв производную от этой функции можно понять, что она достигает максимума при k=80 и равна 120. Пример строится легко, так как мы знаем, что для выполнения равенства нужно, чтобы все положительные числа были равны друг другу.
Это было решение, а теперь возможно полезные и возможно интересные рассуждения. В целом мне кажется идея решения довольно обоснована и к нему прийти намного легче, чем к решению выше. Первое о чём я подумал на самой олимпиаде, это то, что нам хочется оценить сумму квадратов, имея сумму кубов, так что хочется как-то забрать неравенство о средних, но мешает то, что среди чисел могут быть отрицательные. Потом довольно легко пришёл к тому, что в принципе нам выгодно, чтобы все отрицательные числа просто равнялись минус единице, так что остаётся просто как-то оценить сумму квадратов положительных. В итоге повезло с тем, что оценка в тупую через неравенство о средних приводит к ответу. Решение же выше было авторским решением на области и выглядит оно так, словно автор просто заранее знал ответ и просто подстроил решение под него и за этим решением особо не стоит никакая идея (могу ошибаться). Всё ещё усугубляет то, что пример не совсем очевидный. Изначально и я, и олимпиадники вокруг меня были уверены, что максимум достигается когда количество минус единиц равно 89, а то, что оказывается оно должно быть равно 80 совершенно не очевидно и отчасти и даже контр-интуитивно.
Фан факт: на самой олимпиаде я всё сделал как описано в моём решении, но под конец взял производную неправильно и в итоге получил 3 балла вместо 7
3 лайка