В этой теме обсуждаем задачи beyondolymp олимпиады 2 года
Это обсуждение публикации https://olympiads.bc-pf.org/math/s/beyondolymp/2
Это обсуждение публикации https://olympiads.bc-pf.org/math/s/beyondolymp/2
Можно более подробное решение?
В частности не понял, почему рассмотрев x=1, y=1 получили что p может быть равно только {2, 3, 5, 7, 13}.
1 лайк
По условию нужно найти р, на
которую делится данное выражение при любых x и y, В том числе при x=1 и y=1. Выражение в этом случае делится только на данный набор простых чисел, поэтому все остальные простые числа под условие задачи не подходят. Дальше доказывается то, что для всех перечисленных простых чисел действительно выполняются нужные условия уже при любых x и y.
4 лайка
Можете подробнее объяснить все решение?
1 лайк
Смотри, просят найти такие р, при которых какие бы х и у не подставить, выражение будет делиться на это р. То есть, мы можем подставить любые числа и посмотреть их значения, на какие р они делятся. Вот мы и подставили 1 и 1, и поняли, что это р должно делить 8190. Поэтому возможные р сузились до этих пяти значений. Теперь осталось проверить правда ли подходят найденные р, то есть делится ли это выражение на эти р при любых х и у. В решении для этого доказывается x^{13} \equiv x (mod \ p)
1 лайк
Ну вот, меня интересует что дальше x^13=x (mod 1), почему нам достаточно доказать это и зачем мы это делаем
Нам нужно доказать
x^{13} + y^{13} - x - y \equiv 0 \ (mod\ p)
То есть, если x^{13} \equiv x, то аналогично y^{13} \equiv y (mod\ p), поэтому это выражение будет сравнимо с x+y-x-y \equiv 0 (mod\ p). Значит, для любых x и y это число делится на p
1 лайк
А как мы раскрыли скобки (x+y)^13 так, чтобы получилось x^13 + y^13?
Ойойойой шизаа
Спасибо, это на самом деле прокол в оформлении решения
В общем, после доказательства x^{13}\equiv x, мы можем подставить x+y, то есть (x+y)^{13} \equiv (x+y) \equiv x^{13}+y^{13} (mod\ p). Поэтому сравнение верно
2 лайка
Как я понял они равнобедренные тип у них стороны одинаковые и углы одинаковые.
1 лайк
Это подобие треугольников
Неее
NK\parallel ML, \ AN\parallel CL, поэтому \angle ANK= \angle CLM. Можно детальнее объяснить так:
Для AD \parallel BC, углы ANL и NLC – накрест лежащие, поэтому они равны. Также, для KN\parallel LM, углы KNL и NLM накрест лежащие и также равны.
Поэтому, \angle ANK = \angle ANL - \angle KNL = \angle NLC - \angle NLM = \angle CLM.
Так как это параллелограмм, \angle A = \angle C, поэтому треугольники ANK и CLM подобны по углам
8 лайков