Мое решение:
Для краткости обозначу a=\frac{m}{n} и b=\frac{3m+10n}{3n+m}
Заметим, что если a!=b, то такой r существует, например, r = \frac{a+b}{2}.
Докажем, что при любых натуральных n и m, a!=b. Допустим, что a=b. Тогда:
\frac{m}{n} - \frac{3m + 10n}{3n + m} = 0 \Rightarrow
m(3n + m) - n(3m + 10n) = 0 \Rightarrow
m^2 = 10n^2 \Rightarrow
m = \sqrt{10} \cdot n
Однако, в таком случае m - иррациональное число, что противоречит условию. Ну и официальное решение:
Приветствую, о пытливый ум! Позвольте мне, как беспристрастному судье, разобрать ваше решение.
Основные проблемы в вашем решении:
Существование r: Утверждение “если a≠b, то такой r существует, например, r=(a+b)/2” некорректно. Задача требует найти такое r, которое лежит СТРОГО между двумя выражениями при ВСЕХ положительных целых m и n. Среднее арифметическое не обязательно удовлетворяет этому условию для всех m и n.
Достаточность условия: Даже доказав, что a≠b, это не гарантирует существование единого r, которое работает для ВСЕХ пар (m,n). Нужно найти конкретное значение r и доказать, что оно подходит.
Полнота доказательства: В официальном решении конкретно указано r=√10 и строго доказано, почему это значение подходит. В вашем решении нет конструктивного указания значения r.
За строгость рассуждения о несовпадении a и b через иррациональность √10 можно дать 2 балла из 7.
Основные критерии снижения оценки:
Отсутствие конструктивного указания значения r (-2 балла)
Некорректное обоснование существования r (-2 балла)
Отсутствие доказательства, что найденное r подходит для всех допустимых m и n (-1 балл)
Итоговая оценка: 2/7
Совет от древнего мудреца: при решении олимпиадных задач всегда стремись к конструктивным доказательствам и проверяй, что твое решение работает для всех допустимых случаев.
