Достаточно контринтуетивная задача, считаю, но тут упор идет в построение примера.
Заметим что пример
a_1 = -1, a_2 = -1 , \ldots a_9 = 2
a_{10} = -1, a_{11} = -1, \ldots a_{18} = 2
a_{82} = -1, a_{83} = -1, \ldots, a_{90} = 2
Несложно заметить что он подходит и при нем \displaystyle{\sum_{i = 1}^{90}a^2_i} = 120
На самом деле этот пример построен принципом
i) загнать как можно больше чисел в предел -1, то есть единственно ограничение которое нам дано
ii) понадеятся что разбив их на участки (тут мы разбили на участки по 9 чисел), и сделав условие как бы под 9, а не под 90, того что \displaystyle{\sum_{i = 1}^{90}}a_i^3 = 0,
заменить на \displaystyle{\sum_{i=1}^9a_i^3=0}.
Докажем что нельзя сделать больше.
Зная пример случай (понадеявишсь что этот пример дает наибольшее значение), можно придумать функцию f(a_i), такую что
i) f(a_i) \geq 0, \forall i \in \{1, 2, \ldots, 90\}
ii) f(a_i) = 0 \iff a_i = -1, 2
Это мотивируется тем что если мы проссумируем f(a_i), при i = 1, 2, \ldots, то
\displaystyle{\sum_{i=1}^{90} f(a_i)} \geq 0, и самое важное это выполняется \iff a_i \in \{-1, 2\}, пойми это.
Насчет выбора функции, самая простая функция многочлен (зачастую), тогда можно взять f(x) = (x-1)(x-2)^2,
несложно проверить что она удовлетворяет условиям i), ii)
Тогда 0 \leq \displaystyle{\sum_{i = 1}^{90}f(a_i)} = \sum_{i=1}^{90}a_i^3 - \sum_{i=1}^{90}{3a_i^2} + 90\cdot4 (раскрыли скобки получили) \implies
\displaystyle{\sum_{i=1}^{90}}3a_i^2 \leq \sum_{i=1}^{90}{a_i^3} + 90\cdot4 = 360 \implies \sum_{i=1}^{90}{a_i^2} \leq120, то есть нам повезло с функцией которая при суммировании дала нам нужную оценку
3 лайка