БОО возьмём a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \ldots \leq a_{90}. Пусть k - количество всех отрицательных чисел среди a_i. Несложно понять, что \sum^{90}_{i=1}a^2_i достигает максимума, когда все отрицательные числа равны -1. В таком случае \sum^{90}_{i=k+1}a^3_i=k. По неравенству о средних
\sqrt{\frac{\sum^{90}_{i=k+1}a^2_i}{90-k}} \leq \sqrt[3]{\frac{k}{90-k}}. Пусть сумма квадратов всех положительных a_i будет равна a, тогда a \leq \sqrt[3]{k^2(90-k)}. Отсюда выходит, что искомое число не больше, чем \sqrt[3]{k^2(90-k)}+k. Взяв производную от этой функции можно понять, что она достигает максимума при k=80 и равна 120. Пример строится легко, так как мы знаем, что для выполнения равенства нужно, чтобы все положительные числа были равны друг другу.
Это было решение, а теперь возможно полезные и возможно интересные рассуждения. В целом мне кажется идея решения довольно обоснована и к нему прийти намного легче, чем к решению выше. Первое о чём я подумал на самой олимпиаде, это то, что нам хочется оценить сумму квадратов, имея сумму кубов, так что хочется как-то забрать неравенство о средних, но мешает то, что среди чисел могут быть отрицательные. Потом довольно легко пришёл к тому, что в принципе нам выгодно, чтобы все отрицательные числа просто равнялись минус единице, так что остаётся просто как-то оценить сумму квадратов положительных. В итоге повезло с тем, что оценка в тупую через неравенство о средних приводит к ответу. Решение же выше было авторским решением на области и выглядит оно так, словно автор просто заранее знал ответ и просто подстроил решение под него и за этим решением особо не стоит никакая идея (могу ошибаться). Всё ещё усугубляет то, что пример не совсем очевидный. Изначально и я, и олимпиадники вокруг меня были уверены, что максимум достигается когда количество минус единиц равно 89, а то, что оказывается оно должно быть равно 80 совершенно не очевидно и отчасти и даже контр-интуитивно.
Фан факт: на самой олимпиаде я всё сделал как описано в моём решении, но под конец взял производную неправильно и в итоге получил 3 балла вместо 7