Найдите КПД циклов, изображенных на рисунке, если рабочим телом тепловой машины является одноатомный идеальный газ.
можете помочь с решением?
1 лайк
вот мой график p от V
- Q(2-3)= 5/2nR(T2-T1)
- A(2-3)=nR(T2-T1)
A(4-1)=-nR(T2-T1)
То есть, A=A(1-2)+A(3-4) - Q+= Q(2-3)+Q(1-2)
- Q(1-2)=A(1-2)
Q(3-4)=A(3-4)
1 лайк
Для начала перерисуем график в pV координаты дабы было проще
Воспользуемся формулой \eta = \frac{A_{gas}}{Q_{\Sigma}}
Где A_{gas} есть работа газа, а Q_{ \Sigma} есть подведённая теплота
По графику видно, что теплота подводится только в процессе 2-3 и 3-4, найдем ее:
Для процесса 2-3:
\Delta U_{2-3} = Q_{2-3} - A_{2-3} \Rightarrow \\ \ \\
\begin{cases} Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} + A_{2-3} \\
\Delta U_{2-3} = \frac{3}{2}nR (T_2-T_1) \\
A_{2-3} = nR (T_2-T_1) \\
\end{cases} \\\ \\
\boxed{ Q_{2-3} = \frac{5}{2}nR(T_2-T_1)} \\
Также теплота для процесса 3-4:
Так как T = const \Rightarrow Q_{3-4} = A_{3-4}
Воспользуемся формулой для изотермического расширения:
Q_{3-4} = A_{3-4} = nRT_2 \cdot ln \frac{V_4}{V_3}
Нам известны показатели в точки 3 и 4, по Менделееву Клапейрону находим и подставляем V_3 и V_4:
\boxed{Q_{3-4} = A_{3-4} = nRT_2 \cdot ln \frac{p_2}{p_1}}
Тогда мы можем найти общую подведенную теплоту Q_{\Sigma}:
Q_{\Sigma} = Q_{2-3} + Q_{3-4}
Q_{\Sigma} = \frac{3}{2}nR(T_2-T_1)+ nRT_2 \cdot ln \frac{p_2}{p_1}
\boxed{Q_{\Sigma} = nR\cdot(2.5(T_2-T_1)+T_2 \cdot ln \frac{p_2}{p_1})}
Теперь найдем работу газа, воспользуемся уже известными формулами, а также заметим, что работа на участках 2-3 и 4-1 равна по модулю и протиположна по знаку (чит. upd.), следовательно в сумме равна нулю, итого:
A_{\Sigma} = A_{1-2} +A_{3-4}
A_{\Sigma} = nRT_2 \cdot ln \frac{p_2}{p_1} - nRT_1 \cdot ln \frac{p_1}{p_2}
A_{\Sigma} = nRT_2 \cdot ln \frac{p_2}{p_1} + nRT_1 \cdot ln \frac{p_2}{p_1}
\boxed{A_{\Sigma} = nR \cdot ln \frac{p_2}{p_1} \cdot(T_1+T_2)}
Заметьте, что работа 3-4 имеет отрицательный знак, так как работа совершается над газом. Затем знак меняется так как мы выносим -1 из ln использую свойство вынесения степени
Тогда:
\eta = \frac{A_{\Sigma}}{Q_{\Sigma}}
\eta = \frac{nR \cdot ln \frac{p_2}{p_1} \cdot(T_1+T_2)}{nR\cdot(2.5(T_2-T_1)+T_2 \cdot ln \frac{p_2}{p_1}}
\eta = \frac{ ln \frac{p_2}{p_1} \cdot(T_1+T_2)}{2.5(T_2-T_1)+T_2 \cdot ln \frac{p_2}{p_1}}
\boxed{\eta = \frac{(T_1+T_2) \cdot ln \frac{p_2}{p_1}}{T_2(2.5+ln \frac{p_2}{p_1})-T_1}}
Upd:
У меня тут спросили почему работы A_{2-3} и A_{4-1} равны, и я сначала сам в панике подумал, что я ошибся приняв их равными, но на самом деле для конкретно нашего случая это легко доказывается из Менделеева Клапейрона. Промежутки по V координате между точек 2-3 и 4-1 в реальности не равны, нижнее плато длинее.
Для общего случая равенства изобарных работ при наличии двух изотерм можно доказать, доказав верность интегралов (чит. площади под изобарами равны, равны и модули работ):
\int_{\frac{k_1}{p_2}}^{\frac{k_2}{p_2}} p_2 \, dV = \int_{\frac{k_1}{p_1}}^{\frac{k_2}{p_1}} p_1 \, dV \\ \ \\
\forall k_1, k_2 : p_2 > p_1, \ k_n = nRT_n \\ \ \\
p_2 \cdot (V) \bigg|_{\frac{k_1}{p_2}}^{\frac{k_2}{p_2}} = p_1 \cdot (V) \bigg|_{\frac{k_1}{p_1}}^{\frac{k_2}{p_1}} \\ \ \\
p_2 (\frac{k_2 - k_1 }{p_2}) = p_1 (\frac{k_2 - k_1 }{p_1}) \\ \ \\
0=0
21 лайк