Задача об интеграле

Русло реки имеет в разрезе форму равнобедренной трапеции с верхним основанием a, нижним основанием b (b < a) и высотой h. Найдите силу давления воды на плотину,
которая перегораживает реку. Плотность воды равна ρ.

1 симпатия

Чтобы решать задачи с применением интегралов, тебе всегда нужно вводить какие-либо функции, которые физически соответствуют произвольной точке.

Введём систему координат x, которая начинается с поверхности воды и направлена вниз. Тогда давление в произвольной точке равно p(x)=\rho g x, причём 0\leq x\leq h (атмосферное давление скомпенсировано с обеих сторон). Маленькая «полоска» площади в данной точке равна \text{d}S=\left(a-\displaystyle(a-b)\frac{x}{h}\right)\text{d}x. В пределах этой полоски элементарная доля силы \text{d}F =p(x)\text{d}S, либо

F=\int_0^h \rho g \displaystyle\left(ax-(a-b)\frac{x^2}{h}\right)\text{d}x=\rho g \displaystyle\left(\frac{1}{2}ah^2 -\frac{1}{3}(a-b)h^2\right)=\displaystyle\frac{1}{6}\rho g h^2(a+2b)
6 симпатий

Блин, я уже забыл как тяжко было в школе, когда приходилось выдумывать эти функции, которые надо подставлять в интеграл, и как легко стало в универе, когда можно просто бахнуть двойной, тройной, четверной и т.д. а математика уже сама всё упростит.

1 симпатия