Найдите все натуральные n,для которого число 3^{n}-2^{n} \vdots n
6 лайков
Пытался решить по показателю типо 2^n((3•2^{-1})^{n}-1) \vdots n \vdots p где p наименьщий простой нечетный делитель числа n.дальше незнаю
3 лайка
Ты сделал все правильно!
Можно добить так: Очевидно, что n должно быть нечетным. Значит его минимальный простой делитель p тоже будет нечетным. Пусть k = \mathrm{ord}_{p}(3 \cdot 2^{-1}) – показатель 3 \cdot 2^{-1} по модулю p. Мы имеем, что
(3 \cdot 2^{-1})^n \equiv 1 \pmod{p} \implies n\ \vdots\ k.
А еще по МТФ
(3 \cdot 2^{-1})^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \implies p-1\ \vdots\ k \implies p>k.
То есть k, будучи делителем n, меньше наименьшего простого делителя n. Значит k = 1. Следовательно,
(3 \cdot 2^{-1})^{1} \equiv 1 \pmod{p} \implies 3 \equiv 2 \pmod{p}.
Противоречие.
10 лайков
Спасибо, я решил ещё одним способом.
3^n\equiv 2^n\pmod p где p-наименьщий простой нечетный делитель числа n.=>gcd(n,p-1)=1. По МТФ 3^{p-1}\equiv 2^{p-1}\pmod p=>3^{gcd(n,p-1)}\equiv 2^{gcd(n,p-1)}\pmod p=> 3\equiv 2\pmod p=>противоречие
6 лайков
Ооо… такое решение интереснее 
4 лайка