Задача с JBMO-2006

Пусть n > 4 - составное число. Докажите, что число (n-1)! делится на 2n нацело.

Задача кажется легкой и очевидной, но не знаю как правильно и математически это доказать. Задача с Junior Balkan Math Olympiad, также огромная просьба не копипастить решения с инета, их уже видел, не понял.

А нельзя сказать, что n=pq где q\leq n и p\leq n.

При этом, \forall n>4 \quad (n-1)! > n. Т.е. и p, и q входят в S=\{i \in \mathbf{N} | i < n-1 \}, а значит p|(n-1)! и q|(n-1)!

Только надо будет рассмотреть случаи когда p=q или один из \{p,q\} равен двум.

1 симпатия

Спасибо за ответ. У меня ± такая же идея, но мне кажется, что это не является решением на так сказать “полный балл”.

Сразу воспользуемся тем, что n составное, представим его в виде n=ab. Тогда, было бы хорошо взять 2 и просто найти a и b среди чисел от 1 до n-1, и тогда все почти работает, но надо исключить следующие варианты:

  1. n можно выразить в виде n=ab только если a=b или a=2. Тогда n является полным квадратом, при этом делится на 2, значит, делится на 4. Тогда n=16
  2. n можно выразить в виде n=ab только при a=b. Значит, n=p^2. Тогда (n-1)!\ \vdots \ p, 2p.
  3. n можно выразить как n=ab только при a=2 (БОО). Значит, n=2p\ (p>2). Тогда
    (n-1)!\ \vdots \ 4, p.
4 симпатии