3(p^q + q^p) = n!, где p, q - простые, а n - натуральное
Я начал так: очевидно, чтo n > 3, найдя решения для случая n=4(p=q=2),я сказал пусть n>=5 и начал рассматривать остатки по модулю 5 и по модулю 8, но дальше доказать не смог
Сначала рассмотрим отдельно случай p=q, который приводит к ответу p=2,q=2. Теперь возьмем p<q.
Попробуй читать решение понемногу, и с этими подсказками решать дальше
Вот раз уж не получается посмотреть по каким-то модулям, к решению можно прийти двумя мыслями:
- Раз уж численные модули не подходят, давайте рассмотрим модули по переменным, p, q, например. Ну, n!\equiv 0\ (mod\ p), если n>p. Давайте это проверим
- Сравним по величине левую и правую части. Оценим n относительно p
Таким образом, мы приходим к сравнению n и p.
3(p^q+q^p)>p^p>p!
Значит, n>p. Но тогда
3(p^q+q^p)\ \vdots\ p \Rightarrow
p=3
3(3^q+q^3) может делиться только на одну 3, поэтому n<6. Осталось рассмотреть n=5, и понять, что других решений нет
5 лайков