ТЧ. Целая и дробная часть числа

Обозначим n=a^2+x, где x\le 2a.

Тогда получается

a^4+2a^2x+x^2+1 \ \vdots \ (a^2+2)

Тогда будем вычитать и добавлять выражения, которые и так делятся на a^2+2, чтобы сократить какие-то слагаемые:

отнимем a^4+2a^2 и 2a^2x+4x, прибавим 2a^2+4.
Получается, x^2-4x+5 \ \vdots \ a^2+2

Используя 0\le x\le 2a, получаем

0\le(x-2)^2<x^2-4x+5\le4a^2+5<4(a^2+2)

Осталось рассмотреть 3 варианта:

  1. x^2-4x+5=3(a^2+2)
    (x-2)^2=3a^2+5
    Противоречие по модулю (3)

  2. x^2-4x+5=2(a^2+2)
    (x-2)^2=2a^2+3
    Противоречие по модулю (8)

  3. x^2-4x+5=a^2+2
    (x-2)^2=a^2+1
    Учитывая 0\le x\le 2a, это невозможно

6 симпатий

Можете объяснить, почему мы начали сравнивать именно x^2−4x+5 и 4a^2+5, и откуда дальше пошло сравнение с 4(a^2+2), если в начале мы работали с a^2 + 2

Так как x^2-4x+5=k(a^2+2), было бы полезно ограничить это k, поэтому мы ограничиваем x через a: так как x\le2a,\ x^2\le 4a^2, и x\ge0, -4x\le0, отсюда 4a^2+5, и k не может быть больше 3

1 симпатия

А можно ли дальше сравнивать это с 4(a^2 + 2)?, ведь это явно больше 4a^2 + 5, и зачем вообще нужно это сравнение?

Чтобы ограничить k, и уже получить какие-то равенства, которые собсна рассматриваются в вариантах.

То есть вот так: мы знаем, что n делится на m, то есть n=km, где k — какое-то целое число, но это нам не сильно поможет. В данной задаче мы поняли, что km=n<4m, поэтому k<4.
Понимаешь, что это за n и m?

1 симпатия