Теория чисел 11 класс

image
Я понимаю интуитивно,что ответом должно быть

Спойлер

(20!)^21

,но я боюсь ошибиться в объяснении ответа.Прошу у вас советы или шаги как объяснить эту задачу на полные 7 баллов,ибо я часто теряю баллы в подобных задачах(
Если вкратце,то можете дать своё решение проблемы?

2 симпатии

а как ты получил это число?

Ответьте на вопрос: действительно ли вы понимаете почему ответ такой или вы просто сделали догадку, что скорее всего ответ такой? Если второе, то вам просто нужно строго доказать, что это и есть ответ, тогда с объяснением никаких проблем не будет.(Как мне кажется)

2 симпатии

Второе

Просто прикинул,что НОК(3,7)=21.Получается,что какой-то делитель n должен встречаться 21 раз,чтобы число с другими двумя числами образовывало точный куб,и с другими 6 числами образовывало натуральное число седьмой степени(Мы должны брать минимально возможные делители).Пример простой.n1=1^21,n2=2^2…n20=20^21 .Отсюда и ответ: Минимально возможный вариант произведения это (20!)^21 ,но нет точной уверенности в решении,что меньше нельзя

Заранее прощу прощения за излишнюю паранойю или за созданный ненужный тред.Просто немного мечусь перед областной :zipper_mouth_face:

1 симпатия

Решение будет выглядеть следующим образом:
Рассмотрим любое простое p. Пусть \alpha_i - степень вхождения p в a_i. Любые \alpha_i будут сравнимы по модулю 21(поймите почему). Из этого исходит, что любое число на доске - 21я степень какого-то натурального числа. Набор чисел с минимальным произведением, который соответствует этому условию, это как раз таки тот пример, что привели.

3 симпатии

Я бы добавила:
Если эти 20 чисел будут иметь НОД>1, мы сможем сократить все числа на этот НОД и получить новый набор чисел, подходящий условию, но имеющий меньшее произведение. Так как нам нужно наименьшее произведение, будем брать НОД = 1.

Если все эти \alpha_i хотя бы 1, тогда НОД>1, значит хотя бы одно \alpha=0, соответственно, \alpha_i\equiv0\ (mod\ 21)

2 симпатии