Зависимость температуры кипения от высоты

[Matveykastar (Matvey Starostin)]

Здравствуйте . У меня возникли некоторые затруднения при решении данной задачи:

Во-первых я не понимаю что такое P_n и Т_n
Во-вторых я не понимаю про какие именно малые изменения давления и температуры автор спрашивает в задаче.
Прикладываю авторское решение по данной задаче:

Здесь у меня тоже есть непонятный момент, я обвел красным цветом . Как автор преобразовал данное выражение я вообще не понимаю. Почему если e^-x=1-x при х гораздо меньше 1 автор все равно вычитает 1-e^-x
Буду благодарен за ответ

[elprimo (Rinat)]

@Matveykastar

Почему если e−xe^-xe−x=1-x при х гораздо меньше 1 автор все равно вычитает 1-e−xe^-xe−x

вроде все правильно, приближение используется, что при очень маленьком х, е^х=1+х(кажется из ряда Маклорена можно заметить)

[Matveykastar (Matvey Starostin)]

@elprimo

е^х=1+х

Здесь все верно , в условии только со знаком минус. Теперь я понял с этим моментом
Остался вопрос

@Matveykastar

Во-первых я не понимаю что такое PnP_nPn​ и ТnТ_nТn​
Во-вторых я не понимаю про какие именно малые изменения давления и температуры автор спрашивает в задаче.

[Damir (Yekibayev Damir)]

@Matveykastar

Во-первых я не понимаю что такое PnP_nPn​ и ТnТ_nТn​

Температура и давление насыщенного пара

@Matveykastar

Во-вторых я не понимаю про какие именно малые изменения давления и температуры автор спрашивает в задаче.

Здесь говорится, что давление и температура насыщенного пара каким-то образом связаны друг с другом и эта связь выражается формулой

\frac{\Delta P_н}{P_н}=\frac{C\Delta T_н}{T_н}

Допустим для идеального газа связь малых изменений температуры, давления и объема: \frac{dp}{p}+\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T}. В формуле сверху должны быть дифференциалы вместо \Delta, но для малых изменений вполне можно воспользоваться таким приближением.

@Matveykastar

Здесь у меня тоже есть непонятный момент, я обвел красным цветом . Как автор преобразовал данное выражение я вообще не понимаю. Почему если e−xe^-xe−x=1-x при х гораздо меньше 1 автор все равно вычитает 1-e−xe^-xe−x

Тут же все правильно. Если не применять никаких приближений, то

\Delta P=P(0)-P(H)=P(0)-P(0)\exp\left(-\frac{\mu gH}{RT}\right)=P(0)\left(1-\exp\left(-\frac{\mu gH}{RT}\right)\right)

Применяя приближение

\exp(-x)\approx1-x\rightarrow \exp\left(-\frac{\mu gH}{RT}\right)\approx 1-\frac{\mu gH}{RT}

Подставим это в выражение сверху

\Delta P\approx P(0)\left(1-\left( 1-\frac{\mu gH}{RT}\right)\right)=P(0)\left(\frac{\mu gH}{RT}\right)

[Matveykastar (Matvey Starostin)]

В целом все понятно, но еще один вопрос для уточнения , а то я путаюсь в этом постоянно. Давление насыщенного пара на какой-то высоте это тоже самое что и атмосферное давление? А температура насыщенного пара это температура кипения на данной высоте?

[Damir (Yekibayev Damir)]

@Matveykastar

Давление насыщенного пара на какой-то высоте это тоже самое что и атмосферное давление?

да

@Matveykastar

А температура насыщенного пара это температура кипения на данной высоте?

температура, при которой пар находится между газообразной и жидкой фазой

[Matveykastar (Matvey Starostin)]

Благодарю, теперь стало все понятно

[Matveykastar (Matvey Starostin)]

Извините, у меня еще один вопрос образовался:

Почему где Т Автор берет 290К?
И вообще что такое Т в барометрической формуле давления?

[Damir (Yekibayev Damir)]

@Matveykastar

Почему где Т Автор берет 290К?
И вообще что такое Т в барометрической формуле давления?

Это средняя температура воздуха

[Matveykastar (Matvey Starostin)]

Понял , благодарю