Пример 4 (МХО, 2005, тренировочные сборы). Двумерный ящик.
Молекула вещества X содержит 10 π-электронов. Для описания её электронных свойств можно использовать модель двумерного ящика с размерами 0,8 нм × 0,4 нм.
Изобразите диаграмму заполненных энергетических уровней с указанием квантовых чисел n_x, n_y
В основном электронном состоянии молекула X
а) парамагнитна; б) диамагнитна.
Обведите правильное утверждение.
3. Рассчитайте максимальную длину волны света (нм), который может привести к переходу X из основного электронного состояния в первое возбуждённое.
4. Сколько максимумов имеет плотность вероятности в высшей(-их) заполненной(-ых) орбитали(-ях)?
Введём координаты следующим образом:
\\{0 <= x <= 0,8 нм}\\
{0 <= y <= 0,4 нм}
Что представляют собой узлы волновой(-ых) функции(-й) высшего(-их) заполненного(-ых) уровня(-ей)? Опишите их форму и приведите соответствующие уравнения.
Изобразите (качественно) сечения волновой функции низшего вакантного уровня вдоль линий:
а) y = 0,1 нм;
б) y = 0,2 нм.
Рассчитайте дисперсии скорости электрона ( v = \frac{p}{m}) по координатам x и y на низшем энергетическом уровне.
Можете помочь с какими-нибудь пунктами?
В ответе на 1 пункт в книге нам сразу показали диаграмму энергетических уровней, но не сказали откуда они их взяли, кто-то такой вопрос уже задавал, и вроде бы нужно просто подставлять значения n_x и n_y в формулу для энергий,но я не уверен, к тому же это довольно долго.
С пунктом 2 тоже не уверен, вроде бы парамагнитные молекулы или атомы те, что содержат неспаренные электроны, и втягиваются в магнитное поле.
С остальными даже идеи нет.
Поидее понял , просто нужно перебирать значения, ну значит так и надо.
Есть, поэтому и парамагнитна, хотелось бы понять почему именно так, но это уже вопрос как отдельная тема, так что приму как данность.
Я так понимаю, основное состояние это ВЗМО, а первое возбуждённости НСМО?
Тогда ВЗМО электроны на 2.2 а НСМО на 3.2
Но я пришёл к такому выводы через долгий подбор:
Есть ли способ сделать это без подбора? Вряд ли на самой олимпиаде удасться все это вместить на бумагу
3 ответа
Я писал, что можно немного подумать о математической части, и получить ответы быстрее и проще. У нас ящик 2 на 1. Значит, энергия будет изменяться по-разному от n_x и от n_y. Попробуйте подумать, почему (1, 2) по энергии выше, чем (2, 1). Просто попробуйте найти хоть какую-то закономерность. Или систематичный подход (алгоритм), с помощью которого можно будет точно определить порядок уровней. Подбора там не так много.
Состояние – это электронная конфигурация. ВЗМО – это молекулярная орбиталь. Электронная конфигурация – это не молекулярная орбиталь. Яблоко не груша.
Основное состояние – это когда все электроны занимают максимально низкие по энергии орбитали: т.е. заполнение МО от первой до ВЗМО. Первое возбужденное образуется в результате самого низкого по энергии возбуждения электрона, т.е. перехода одного электрона с ВЗМО на НСМО.
И все равно я не понял как они нашли количество максимумов, и зачем вводили эти координаты, типо и так же понятно, что значение х и у не может быть меньше нуля или больше длины своего ящика.
А что, перед тем как решать начать теормата нужно прочитать теорию из других книг? Нужно ли читать что-то про кванты из другой книги ради 2 главы? Умею решать тригонометрические задачи 9 класса, всякие формулы и методы по типу умножения, сложения и т.д
Чтобы эту тему понять, надо иметь хорошую базу по физике и нормальную по математике, т.е. понимать что такое производная/интеграл, уметь искать максимумы функций, хотя бы уметь решать уравнения вида
\sin(ax)=b
В обычных школах это программа 11-го, в США это вроде вообще программа колледжей
Я не то чтобы прям понимал, но формулы знаю и некоторые задачи умею решать.
Под искать максимумы функций имеет ввиду взятие производной и приравнивание ее к 0?
А как решать? В голову приходит только взять арксинус.
А шо делать, зачем Ерёмин тогда написал книгу для подготовки школьников к олимпиадам, если ее поймут только 11, которые скорее всего к вузу готовятся?
там было написано " в обычных школах проходят". Ничто не мешает вам изучить эти темы самостоятельно, люди же как то изучают даже олимпиадные темы без помощи школьных учителей, а тут школьная программа
Урок алгебры, тема: анализ функций. Изучается в конце 10 или начале 11 класса.
Ну вы два дня назад были убеждены, что y это потенциальная энергия. Вот там чтоб наверняка уточняют.
Потому что олимпиадники должны идти впереди школьной программы. Сначала ты полностью осваиваешь школьную программу за свой класс, потом нагоняешь немного из будущих и только потом занимаешься олимпиадами. Или можно по мере изучения новых тем, сталкиваясь с неизвестным математическим аппаратом, идти и прокачивать этот самый аппарат.
Можно брать производную, а можно просто вспомнить как выглядят функции \sin(x)\ \sin^2(x) \cos(x) \ \cos^2(x) и где у них максимумы а где нули (узлы)
Собственно поэтому я и подумал, что вам не хватает базы по математике. В школьной программе ученики очень долго рисуют графики разных функций, сначала по точкам, потом изучают как влияет на график функции разные модификации изначальной функции, а набив руку уже видя уравнение ты понимаешь как выглядит график. Если функция f(x,y) имеет вид \sin^2(ax)\sin^2(by) можно конечно производные брать и уравнивать к нулю, но вообще конечно в идеале это должно быть очевидно где у неё максимумы и как выглядит график подобной функции. Если вы будете прилагать усилия, то со временем это вам станет очевидно.
Этот пункт — самая прямая проверка навыка анализа функции. Уровень сложности — задача на закрепление пройденной темы. Если вы изучите анализ функций, вы сможете ответить на вопрос в этом пункте.
Вы сами еще не поняли, что если вы смотрите в решения не для того чтобы проверить ваш ответ, а для того, чтобы понять как решать, вы не поймите и не запомните абсолютно ничего?
Я кажется начинаю понимать, ведь волновые функции частиц это ведь просто функций от синуса:
Типо вот этого. Сама по себе это функция вроде ничего не дает, но ее квадрат(хз зачем модуль, может от мнимых чисел?) даёт
Даёт что-то типо этого, где есть только узлы(y = 0) и максимумы, или же точки где вероятность нахождения электрона выше всего.
В 4 пункте нас просят найти эти максимумы для уровней (4,1) и (2,2)
И для этого нам нужна эта формула:
По сути нам известно все, кроме х и y, вернее мы знаем только их границы, а дальше уже без понятия как находить максимумы.
Может просто прировнять производную этого выражения(или его квадрата) к нулю?
И так как косинус равен 0 только при \frac{\pi}{2} + n\pi
Можно перебирать х и у пока само значение косинуса не станет 0 и чтобы эти значения не выходили за рамки.
Я правильно вас понял?
1 ответ
Если вам надо перебирать значения, чтобы найти максимумы синуса, то возьмите паузу от химии и потратьте пару недель/месяц, на изучение математики. Вы должны чувствовать математику, чтобы не вязнуть в этом
Кажется я понял, я посидел и увидел, что квадрат синуса это тот же синус, только без отрицательных значений, другими словами :
Вот тут, они просто отрицательные значения подняли вверх к положительным, и получили все максимумы.
Из за того, что ящик двухмерный(хотя выглядит трёхмерным), с одной стороны мы видим один максимум(я о фото выше), а с другой уже 2, для функций \phi_{2,1}, количество максимумов ведь зависит лишь от значения n, и если вглядываться вообщем, то максимумов 2.
Вообще, если так посмотреть, то чтобы найти количество максимумов нужно лишь n_x умножить на n_y
Для 4 пункта все так и работает:
С одной стороны это одномерный ящик с n = 1, и следовательно с 1 максимумом, с другой стороны это одномерный ящик с n = 4, и следовательно с 4 максимумами, а если перемножить эти значения и посмотреть на картину вообщем, то видим 4 максимума, также и для \phi_{2,2}
Я правильно рассуждаю?
Только я не понимаю как именно n влияет на количество максимумов, может оно уменьшает все значения х на n, и поэтому количество пиков увеличивается?
Имею ввиду, при sin(x), где 0<=х<=360
Есть 3 узла, при x=0,180,360
При sin(2x), есть 5 узлов, при х=0,90,180,270,360
А ну да, то чего достиг sin(x) вообщем, sin(2x) достиг уже к середине.
Но вот при просто sin(x) ведь должно быть 2 узла, а при sin(2x) 3 узла, как в книге:
Я не смогу ответить на ваши вопросы так, чтобы вы поняли, т.к. вы слишком увязли, хотя и некоторые вещи поняли (что двумерный ящик перемножение одномерных).
Вы увязли т.к. например не знаете школьную формулу \sin(x)^2=\frac{1-cos(2x)}{2}
И по вашей фразе “двумерный ящик выглядит трехмерным” я понял, что концепции графиков функций вы не освоили на нужном уровне. И тригонометрию знаете лишь на уровне девятого, а необходим уровень выпускного класса.
Послушайте, я потратил тысячи часов на изучение математики в чистом виде, чтобы кванты понимать и решать на сборах и межнаре. Вы пытаетесь проскочить необходимое.
Я ее знаю, но как ее использовать тут? Мне казалось я понял пункт 4, единственное не понимаю почему количество узлов в функций sin(x) = 3, а в точно такой же sin(\frac{\pi x}{L}) где \pi и L константы, и вроде не влияют на количество узлов, уже 2, как на фото выше
Вот поэтому Илья и говорит, что вы не чувствуете математику. Если бы чувствовали – понимали бы как использовать.
Функция синуса в общем виде имеет следующий вид: y=a \sin (bx+c) + d. Чтобы работать с функциями надо понимать влияние каждого из параметров a,b,c,d. Как изменится если функция если d увеличится на единицу? А если уменьшится? А если тоже самое станет с b?
На уроках математики объясняется, например, что такое период функции. И какой из параметров связан с этим периодом. И вот из понимания периода, его длины и его формы можно ответить на вопрос сколько узлов у функции.
То, что вы написали в последних двух сообщениях – попытка осмыслить решение, попытка придумать объяснение. В сравнении с некоторыми другими вашими темами это уже прогресс, но в данном случае это немного переходит в категорию “подгона” и на самом деле совершенно не оправданно, ибо ничем из этого не нужно заниматься если изучить темы алгебры 10 и немного 11 класса. Подойдите к школьному учителю и попросите научить вас анализировать функции. Параболу, синус, косинус. Не надо ему показывать задачи или уравнения квантовой химии – поймите математику в общем случае.
Возможно это риторические вопросы, и не нужно на них отвечать, но для достоверности, d влияет на перемещение по оси y, т.е если увеличится на единицу, то функция поднимется на единицу вверх по оси y, а если уменьшится то опуститься, верно?
b скорее всего влияет на количество повторений вот этих вот горок, скорее всего это и называют периодами.
Значит ответ на этот пункт по большей части кроется в периодах?
Так он скорее всего отдыхает где-то, поэтому писать и беспокоить его лучше не стоит, наверное лучше видео посмотрю
Я в свое время любил баловаться всякими Geogebra и рисовать разного рода графики, чтобы понять, как что влияет. Можете проверить себя с помощью таких программ. А потом можно попытаться найти причину, почему это так (или не так).
Ответ на этот пункт кроется в знании того, как меняется вид волновой функции с изменением n_x и n_y. По своей сути, просто в знании математики.
Лучше почитать книгу. В сотнях страниц учебника явно больше полезной информации, чем в 20 минутах ролика.
Это вопросы на которые вы должны уметь отвечать чтобы решать эту задачу. Это то, что изучается на уроках математики. Я это написал чтобы показать вам что вы не знаете.
Если хотите торговаться идите на базар. Тут на форуме другим занимаются.
