Расширение ван-дер-ваальсовского газа

Два теплоизолированных баллона соединены между собой трубкой с вентилем. В одном баллоне объемом V_1=10 \space л находится \nu =2,5 \space моль углекислого газа. Второй баллон объемом V_2=100 \space л лоткачан до высокого вакуума. Вентиль открыли, и газ расширился. Считая газ ван-дер-ваальсовским, найти приращение его температуры.

В этой задаче происходит расширение газа без влияния внешних факторов, значит справедливо уравнение:

A+\Delta U = 0

Однако A=0, так как газ тоже не производит работы. Если бы газ был идеальным, расширение его произошло бы без какого-либо приращения температуры. Однако в ван-дер-ваальсовской модели изменение кинетической энергии молекул уходит на изменение потенциальной энергии взаимодействия. Так как \Delta U = 0, нужно определить закон U для реального газа.
Используем термодинамическую формулу, справедливую для однородного, изотропного и устойчивого вещества:

(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T (\frac{\partial P}{\partial T})_V - P

(впредь в задачах на реальные газы будут очень часто применяться подобные формулы, обязательно разобрать §45 второго тома Сивухина и прорешать задачи на эту тему)

Используя уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса:

(P+\frac{a}{V^2})(V-b) = RT \rightarrow \newline \rightarrow P = \frac{RT}{V-B} - \frac{a}{V^2}

возьмём частное производное (\frac{\partial P}{\partial T})_V и подставим в первое уравнение. Получаем:

(\frac{\partial U}{\partial V})_T = \frac{a}{V^2}

Проинтегрировав при постоянном T,

U = -\frac{a}{V} +f(T)

f(T) является “постоянной интегрирования”, которая зависит от температуры (так как в частном производном температура постоянна). Чтобы найти её значение, возьмём частное производное последнего уравнения (\frac{\partial U}{\partial T})_V = C_V

C_V=\frac{df}{dT} \rightarrow f(T) = \int C_V dT

Таким образом, внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса описывается выражением

U = \int C_VdT - \frac{a}{V}

Если C_V не зависит от температуры, то \int C_VdT = C_VT

В этой задаче U_1=U_2, тогда

C_V\Delta T = -a(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_1+V_2})

Подставляешь численные значения и получаешь ответ.

6 симпатий

формулы использовались на единицу количества вещества, если \nu\ne 1, то нужно во всех формулах заменить V \rightarrow V/\nu (объём молярный)

© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)