Докажите, что для любого простого р разность 111…11222… 22333…33…888…88999…99 - 123456789 (в первом числе каждая ненулевая цифра написана р раз) делится на р.
Начала я эту задачу так:
111…11 * 10^8p+222…22 * 10^7p+…+888…88 * 10^p+999…99 =111…11 * 10^8+222…22 * 10^7+…+888…88 * 10+999…99 (mod p)
Не знаю что можно дальше делать
ты уже разложил число 111…11222… 22333…33…888…88999…99 - 12345678 на это
11…11 * 10^(8p)+222…22 * 10^(7p)+…+888…88 * 10^p+999…99
теперь используй малую теорему ферма о том что n^p = n mod(p)
нас интересует только делимость поэтому нам интересны только остатки при делений на p
из малой теоремы ферма
11…11 * 10^(8p)+222…22 * 10^(7p)+…+888…88 * 10^p+999…99 =
11…11 * 10^(8)+222…22 * 10^(7)+…+888…88 * 10+999…99 mod(p)
теперь просто минусуешь 123456789
и ты получишь 11…11 * 10^(9)+222…22 * 10^(8)+…+888…88 * 10^2+999…990 (здесть цифры записоваются уже не p раз , а p-1 раз)
на этом саите доказано что 11111…11 (p-1)times devides p. Prove that the number $ \underbrace{11 \ldots 1}_{(p-1) \mathrm{l}^{\prime} \mathrm{s}} $ is divisible by $p$ - Mathematics Stack Exchange
следовательно 11…11 * 10^(9)+222…22 * 10^(8)+…+888…88 * 10^2+999…990 делиться на p
пиши если будут вопросы по решению*
здесть цифры записоваются уже не p раз , а p-1 раз
последнее выражение имеет вид 1111…11110(10^8 + 2*10^7 … 9) для пятерки и двойки это очевидно верно так-как выражение делится на 10. Для тройки выражение в скобках имеет вид 123456789 сумма цифр делится на три, следовательно для 2, 3 и 5 тоже верно
А да точно, Спасибо!
