11.1.22*. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса а и массы т. Сопротивление кольца R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону В = Bo(1 +ah).
Через теорему о магнитном потоке, найдем тангенциальную составляющую магнитной индукции
B_\parallel = - \frac{dB_\perp}{dh} \frac{a}{2}= - \frac{a}{2} \frac{d}{dh}(B_0(1+αh))
Учитывая, что установившаяся скорость постоянна
v=\text{const}
\frac{dh}{dt} = -v
Откуда находим значение для тангенциальной составляющей магнитной индукции B_\parallel
B_\parallel = \frac{αaB_0}{2}
Из-за того, что поток проходящий через кольцо изменяется, в кольце индуцируется ток
\varepsilon_{i} = -\frac{d\Phi}{dt}=-\pi a^2 \frac{dB_\perp}{dt}
\varepsilon_{i} = \pi a^2 B_0v\alpha
По закону Ома, индуцированный ток найдём как
I = \frac{\varepsilon_{i}}{R} = \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R}
Тогда силу Ампера найдем как
F_A = 2\pi aIB_\parallel
F_A = 2\pi a \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R} \frac{αaB_0}{2}
F_A = \frac{\pi ^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R}
Условие отсутствия ускорения
mg = F_A
\frac{\pi ^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} = mg
Откуда получаем установившуюся скорость
\boxed{v = \frac{mgR}{(B_0πa^2α)^2}}
Источник: savchenko-physics.github.io
3 лайка