Area of the fourth square as a fraction of the original square

Поступление в вузы NUET
1

A design is set up by joining the points which are one third of the way along the
sides of a square. This forms a second square as shown. This process is repeated.
Calculate the area of the fourth square as a fraction of the original square.
image

A \displaystyle \frac {1}{27}

B \displaystyle \frac {5\sqrt5}{81}

C \displaystyle \frac {125}{729}

D \displaystyle \frac {25}{81}

всем привет, помогите пожалуйста с этой задачей, каким образом нужно ее решить? заранее спасибо!
(задачка с мок теста)

1 лайк
2

Тут можно решить задачу через теорему Пифагора, a^2+b^2=c^2 , где с это гипотенуза а а и б это катеты, допустим что длина стороны большого квадрата равна 3, внутренний квадрат создаёт 1/3 (катет) от длины большого квадрата, 1/2 (2 катет) от длины большого квадрата и одной своей стороной маленького квадрата прямоугольный треугольник, с катетами 1/2 от длины стороны большого квадрата, 1/3 длины стороны большого квадрата и гипотенузой равной стороне квадрата, который внутри большого квадрата, мы можем найти длину стороны квадрата, который внутри большого квадрата, длинастороныменьшегоквадрата=√(1^2+2^2), и таким образом находим сторону меньшего квадрата и так делаем ещё 3 раза для того чтобы найти сторону 4 квадрата

1 лайк
3

Можно решить легче, рассмотрев общий случай.
Стороны квадрата \frac{1}{3} a_{n-1} и \frac{2}{3} a_{n-1} образуют со стороной a_n следующего квадрата прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора

a_n=\sqrt{ \left( \frac{1}{3} a_{n-1} \right)^2 + \left(\frac{2}{3} a_{n-1}\right)^2}=\sqrt{\frac{5}{9}a_{n-1}^2}

Площади треугольников

S_{n-1}=a_{n-1}^2,\ S_n=a_n^2=\frac{5}{9}a_{n-1}^2

Получаем геометрическую прогрессию

S_n=\frac{5}{9} S_{n-1} = S_1 \left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}
S_4= S_1 \left(\frac{5}{9}\right)^{4-1} = S_1 \left(\frac{5}{9}\right)^3 = \frac{125}{729} S_1

Ответ: c) \frac{125}{729}.

14 лайков
4

Вот это я понимаю, вот это хорошая задачка.

3 лайка
5

Я так заметил, что на нует в целом относительно регулярно появляются несложные, но интересные задачки.

2 лайка