В авторском решении V_0 это точка пересечения прямой BD с осью объемов, а у вас давление
p(V)=p_0+\left (\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)V
выражено через начальные параметры газа, тогда как в авторском решении давление
p(V)=p_D+k(V-V_D)
выражено через конечные параметры газа
Еще одно замечание, наклон прямой BD \left (\frac{\Delta p}{\Delta V}\right):
\left (\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)=\frac{p_D-p_B}{V_D-V_B}=\frac{p_D-p_0}{V_D-V_0}
А вы написали, что:
\frac{\Delta p}{\Delta V}=-\frac{p_0}{V_0}
что естественно, неверно