Максимальная температура в цикле

[Matveykastar (Matvey Starostin)]

2. На рисунке показан график циклического процесса, происходящего с v=2 молями идеального газа. Определите максимальную температуру газа за цикл. Считать V_0 =0.5 \space \text м^3 , P_0=7 \space кПа.

Вот такая задача , очевидно что когда температура максимальная тогда максимальны давление и объем. Дальше мы берем плавающую точку на графике и записываем Менделеева-Клайперона и нужно взять производную . Но как получить зависимость чтобы брать производную , дальше я не понимаю что можно еще сделать.

[elprimo (Rinat)]

я конечно не физик, но если у нас функция -окружность, то нельзя воспользоваться уравнением окружности(вместо у -давление, вместо х-обьем)?

[Matveykastar (Matvey Starostin)]

У нас же x^2+y^2=R^2
Нельзя складывать литры с Паскалями

[elprimo (Rinat)]

а зачем складывать, через уравнение идеального газа выразить все через одну переменную и взять производную

[Sammael (Илья)]

Не думаю, что для квадратного уравнения понадобятся производные
И потом, тут надо быть хитрее, ибо это условный экстремум, для таких случаев не просто производную берут.
Нужно будет либо в явном виде найти T(p), и только тогда брать производную, либо пользоваться приемами похитрее (множители Лагранжа и т.п.)
Я бы решал задачу совсем иначе, но не знаю насколько мой способ подходит для данных олимпиад (через производную у неявной функции).

[elprimo (Rinat)]

@Sammael

для таких случаев не просто производную берут

это типо из-за того что у нас температура это функция нескольких переменных(давления и обьема) и надо брать частные?

[Sammael (Илья)]

Она не просто функция нескольких переменных, но и у нас есть условие (круг), по которым эти несколько переменных связаны. Такая задача называется “поиск условного экстремума функции многих переменных”, проходится на первом или втором курсе мат.анализа.

Но конкретно в этом случае, можно схитрить через параметр. Если давление и температуру выразить через параметрическое уравнение окружности

\begin{gathered} p=2.25P_0+1.25P_0 \sin \varphi \\ V=2.25V_0+1.25V_0 \cos \varphi \\ \end{gathered}

То получается

\begin{gathered} T=\frac{PV}{nR}=\frac{\left(2.25P_0+1.25P_0 \sin \varphi \right) \left(2.25V_0+1.25V_0\cos \varphi \right)}{nR} \end{gathered}

Что дальше делать с функцией T(\varphi ) думаю уже очевидно брать производную

[Matveykastar (Matvey Starostin)]

После взятия производной у нас же останутся синусы и косинусы, что потом с ними делать ?

[Miras (Miras Amirbekov)]

При нахождений минимума/максимума нужно взять производную функции и приравнять к 0.

[Sammael (Илья)]

Решать уравнения с синусами и косинусами. Тригонометрия это учит делать.

[Alisher (Alisher Yerkebayev)]

@Matveykastar

У нас же x^2+y^2=R^2
Нельзя складывать литры с Паскалями

Оно и правильно. Любой “круговой” в буквальном смысле термодинамический процесс есть, на самом деле, уравнение эллипса со специально подобранными для масштаба параметрами P_0 и V_0. Для окружности радиуса 1.25 с центром в точке (2.25; 2.25) уравнение процесса записывается в относительных единицах:

\left(\frac{P}{P_0}-2.25\right)^2+\left(\frac{V}{V_0}-2.25\right)^2=1.25^2.

Но только решать таким способом довольно муторно. Так что согласен с методом @Sammael.

[arman_dx (Arman)]

Мы знаем что:

PV= nRT

Взяв дифференциал от T и приравняв его нулю получим:

PdV +dP V = 0

или же

\frac{dP}{dV}=-\frac{P}{V}

Давай проанализируем что это значит. Производная \displaystyle\frac{dP}{dV} это касательная на графике P(V), а \displaystyle\frac{P}{V} это тангенс координат на графике.

Если наглядно, то:

Синее это \displaystyle\frac{P}{V}, а красным отмечено \displaystyle\frac{dP}{dV}. Для того что бы найти максимальный T, нужно найти такую точку на круге где \displaystyle\frac{dP}{dV}=-\frac{P}{V} . Проще говоря, надо найти такую точку, где Синяя линия будет перевернутой версией Красной линии

Upd. Вот ссылка на график в десмосе, для лучшего понимания материала