Генератор синусоидального напряжения. Максимальная амплитуда напряжения

1 симпатия

Задача довольно сильно упрощается в комплексных числах:

обозначим резистор как R, конденсатор как C и катушку как I

\tilde{I}(t)=\tilde{I}_R(t)=\tilde{I}_C(t)=\tilde{I}_I(t) \;\;\;\;\;\;\; (1)
\tilde{E}(t)= \tilde{V}_R(t)+\tilde{V}_C(t)+\tilde{V}_I(t) \;\;\;\;\;\;\; (2)

В комплексных числах, все выражения \tilde{V}_i(t) принимают форму, похожую на закон Ома:

\tilde{V}_R(t)=\tilde{I}_R(t) \cdot R
\tilde{V}_C(t)=\tilde{I}_C(t) \cdot \frac{1}{iwC}
\tilde{V}_I(t)=\tilde{I}_I(t) \cdot iwL

Подставляя в уравнение (2) и пользуясь уравнением (1) получим:

\tilde{E}(t)=\tilde{I}(t) \tilde{Z}_{tot}

А \tilde{E}(t) в свою очередь имеет значение \tilde{E}(t) =A \sin (wt), но после перехода в комплексные числа станет \tilde{E}(t) = A e^{iwt}

Тогда:

\tilde{I}(t) = \frac{Ae^{iwt}}{R+i(wL-1/wC)}

Мы можем представить R+i(wL-1/wC) как e^{i\phi}, а можем представить A/[R+i(wL-1/wC)] как I_0 e^{-i\phi}. Дело консенсуса. Возьмем как второе.

Тогда

I_0 e^{-i\phi} = \frac{A}{R+i(wL-1/wC)}

Найти I_0 можно помножив выражение на комплексно сопряженное и взяв квадратный корень от результата:

I_0 = \sqrt{\frac{A^2}{R^2+[wL-1/wC]^2}}

а \phi можно найти если преобразовать выражение так, чтобы комплексное число оказалось в знаменателе:

I_0 e^{-i\phi} = \frac{A}{R^2+(wL-1/wC)^2} \cdot (R-i(wL-1/wC))

Тогда:

\tan \phi = \frac{wL}{R} - \frac{1}{wCR}

Итого, мы знаем I_0, мы знаем \phi, значит мы знаем \tilde{I}(t)=I_0 e^{i(wt-\phi)}

Мы можем вернуться в плоскость действительных решений если возьмем I(t)=Re(\tilde{I}(t)). Но лучше всего возвращаться к действительным в самом конце. Тебя интересуют следующие значения:

\tilde{V}_C(t)=\tilde{I}_C(t) \cdot \frac{1}{iwC}
\tilde{V}_I(t)=\tilde{I}_I(t) \cdot iwL

теперь в них для тебя все переменные известны. Просто берешь производные \frac{\partial \tilde{V}_C(t)}{\partial w} и \frac{\partial \tilde{V}_I(t)}{\partial w} и приравниваешь к нулю.

11 симпатий
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)