Здраствуйте,в школе решали уравнений 7 степени ,оно получилось очень грамоздким и мне стало интересно можно ли было ее решить использую иные способы(мы решали просто алгеброй и заменой )
3 лайка
As I remember, in 10th grade, we used to solve polynomial equations by Horner’s method.
4 лайка
Я обычно использую теорему Безу, в большинстве случаев сильно облегчает жизнь.
6 лайков
ну сначала бы немного знать про деление многочлен на многочлен, дискриминант (не тот, что в школе b^2-4ac, а тот который про кратность корней многочлена), деление с остатком
потом уже можно начать использовать следствие теоремы Безу, т.е P(x)=T(x)(x-a)+r => остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x-a) равен P(a); где T(x) это неполный остаток от деления, r остаток. Следствие в том, что
если a = 0 (то есть a является корнем многочлена) то P(x) делится на многочлен (x-a) без остатка.
Это можно легко использовать в решении нахождения корня многочлена, тем же делением многочлена на многочлен. Сначала подбираешь корень уравнения, дальше делишь сам многочлен на x-a где a это корень уравнения. Если ты находишь корень уравнения, то изначальный многочлен можно представить как (x-a)(T(x)). Далее используешь дискриминант, вычисляешь более легкое уравнение, которое обычно сводится либо к формуле Кардано либо к методу Феррари.
Обычно решение не сложно заметить в уравнениях типо x^2-x-2=0, т.е где можно попросту подобрать корень. Если корень многочлена не удаётся подобрать (может, его даже в вещественном поле нет) то тебе сильно поможет тест на рациональность корней (aka теорема о рациональных корнях), если коэффициенты целые и не равняются нулю.
Можно также использовать попробовать написать программу, которая использует формулы Кардано и Феррари, но они обычно выводят корни которые менее точные относительно численных методов (тот же метод хорд, но он требует от вас хорошей базы в функциях.) Это потому что в формуле нужно извлечь квадратные и кубические корни, оттого и точность проседает.
В целом, чтобы понимать как решать уравнения высокой степени, тебе понадобится знать азы высшей алгебры, а то есть симметричные многочлены, группы Галуа и формулы Виета. Только Виет не всегда выполняется, например когда коэф. многочлена в коммутативном кольце и имеет делитель нуль.
Ещё можно добавить что нельзя вывести формулу для вычисления корня уравнения степени n>4, об этом гласит теорема Абеля-Руффини о неразрешимости в радикалах. Там вылезает такая фигня, что чтобы решить уравнение 5 степени нужно решить несколько вспомогательных уравнений 6 степени, а чтобы решить уравнение 6 степени нужно также решить несколько вспомогательных уравнений 7 степени и т.д. Ad Infinitum
6 лайков