Нахождение высоты тетраэдра

Вот есть тетраэдр с длиной ребра a . Его высота равна \frac{a\sqrt{6}}{3}, и решил я это вывести знаниями геомы первой четверти десятого класса.
Есена сделал вот такой вот прямой треугольник, который связывает высоту, длину ребра, и какуюто непонятную вещь(дальше z).


Для нахождения z, а дальше и самой высоты, перейдем в плоскость основания

Тут выходит, что x=\frac{a\sqrt{3}}{2}. Потом я прикинул, что z – это ровно половина от этого икс…. Тогда по пифагору выходит(по первой картинке), что

h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4} \right)^2 = a^2 \Rightarrow h=\frac{a\sqrt{13}}{4}

Глупо конечно было брать, что z=\frac{x}{2}, и тут я в ступоре. Вообще идей нет, как найти z

2 лайка

если я правильно понимаю, под z вы имеете ввиду расстояние от вершины основания тетраэдра до точки пересечения высоты тетраэдра с основанием. Попробуйте представить это как нахождение расстояния между вершиной равностороннего треугольника и его центром. Стоит посмотреть на бисектрисы основания.

2 лайка

Для начала, там к сожалению z не равен \frac{x}{2}. Для нахождения высоты ты можешь воспользоваться формулой герона S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где p полупериметр треугольника и a,b,c его стороны и \frac{ah}{2}=S, где a у тебя это длина основания у тетраэдра, то есть твой x.

Спойлер

Вот твой тетраэдр:
изображение
Обозначим длину ребра за a, высоту основания тетраэдра за x и высоту самого тетраэдра за h.
Для начало надо найти высоту основания:

a^2+(\frac{a}{2})^2=x^2
x=\frac{\sqrt{3}a}{2}=AL=LS

Дальше используем выше сказанные мной формулы для нахождения высоты:

h=\frac{4}{\sqrt{3}a}\sqrt{p(p-a)(p-x)(p-x)}
p=\frac{1}{2}(a+\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{\sqrt{3}a}{2})=\frac{1}{2}a(1+\sqrt{3})
h=\frac{4}{\sqrt{3}a}\sqrt{(\frac{a}{2})^4(1+\sqrt{3})(-1+\sqrt{3})}

По формуле разности квадратов:

(a-b)(a+b)=a^2-b^2
(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2

Тогда высота:

h=\frac{4}{\sqrt{3}a}\cdot\frac{a^2}{4}\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a= \frac{\sqrt{6}}{3}a

В самом конце я умножил на \sqrt{3} и числитель и знаменатель.

5 лайков

z=\frac{2x}{3} по правилу подобия треугольников KHA и BKC. Маленький катет относится к гипотенузе как 1:2.

1 лайк

Вообще, попробуй построить куб, и обозначить четыре точки в кубе так, чтобы получился тетраэдр. Так легче будет визуализировать и делать какие-либо расчеты (просто на будущее).

1 лайк