Задача про биссектрису


Можете подсказать, как правильнее решить эту задачу? Я пытался опираться на то, что биссектриса это ГМТ, равноудаленных от сторон угла, тогда, соответственно, если точка пересечения отрезков будет лежать не на биссектрисе, то она не будет равноудалена от B1, A1, B2, A2 и тогда OA1 не будет равно OB1 и аналогично с другими точками, но есть сомнения по поводу правильности последних пунктов, так как не знаю как их можно доказать.

Правильное начало!

Обозначим M как пересечение A_1B_2 и A_2B_1, и пусть H_a, H_b – основания высот опущенные с M на A_1A_2 и B_1B_2, соответственно. Тогда если мы докажем равенство треугольников \Delta MA_1A_2 и \Delta MA_1A_2, то MH_a и MH_b будут равны как соответствующие элементы, в чем и заключается задача.

А доказать равенство легко!

По двум сторонам и углу между ними убеждаемся что \Delta OA_2B_1 и \Delta OA_1B_2 равны. Следовательно, \angle OA_2B_1 = \angle OB_2A_1 и \angle A_2A_1B_2 = \angle B_2B_1A_2 (смежные углы). Значит \Delta MA_1A_2 и \Delta MA_1A_2 равны по стороне и двум смежным углам.

3 симпатии
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)