- Это неравенство не решается обычной индукцией, поэтому в указании описана очень интересная индукция, которую стоит запомнить.
Сначала докажем, что неравенство верно для всех n=2^k.
База: \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} верно.
Предположение: пусть неравенство верно для всех n=1, 2, ..., 2^k для какого-то k \ge1
Возьмем 2^k=m
Переход:
\frac{x_1+x_2+...+x_{2m}}{2m}= \frac{x_1+x_2+...+x_{m}}{2m} + \frac{x_{m+1}+x_{m+2}+...+x_{2m}}{2m} \ge
\frac{\sqrt[m]{x_1x_2...x_m}}{2}+\frac{\sqrt[m]{x_{m+1}x_{m+2}...x_{2m}}}{2} \ge \sqrt[2m]{x_1x_2...x_{2m}}
Осталось доказать, что если условие верно для какого-то k, то оно верно для k-1.
Используется замена \sqrt[k-1]{x_1x_2...x_{k-1}}=t, и берем x_k=t, т.к. условие верно для любых наборов к чисел.
4 лайка
С последней картинки:
5. Подумай, по какому модулю можно рассмотреть члены арифметической прогрессии, и какие числа входят в эту прогрессию
7. Используй то, что 1001 делится на 7
4 лайка