Помогите с неравенством, по-моему метод штурма

Докажем неравенство методом Штурма:

Если x_1=x_2=\dots =x_n=\frac{1}{2n}, то неравенство работает. Пусть есть хотя бы два не равных друг другу числа. Тогда найдутся два числа (например, x_1
и x_2), такие что x_1 < \frac{1}{2n}, x_2 > \frac{1}{2n}).

Тогда докажем, что при замение x_1 \rightarrow \frac{1}{2n}, x_2 \rightarrow x_1 + x_2 - \frac{1}{2n} выражение

\frac{1-x_1}{1+x_1}\cdot \frac{1-x_2}{1+x_2} = 1 - \frac{2(x_1+x_2)}{1+x_1+x_2+x_1x_2}

уменьшится.

То есть достаточно показать, что

1 - \frac{2(x_1+x_2)}{1+x_1+x_2+x_1x_2} \geq 1 - \frac{2(x_1+x_2)}{1+x_1+x_2+\frac{1}{2n}\left(x_1+x_2-\frac{1}{2n}\right)}

А это так!

2 симпатии

Докажем по индукции более общее утверждение: если сумма положительных чисел x_1, x_2, \dots, x_n равна s < 1, то

\frac{1-x_1}{1+x_1}\cdot \frac{1-x_2}{1+x_2} \cdots \frac{1-x_n}{1+x_n} \geq \frac{1-s}{1+s}.

База. При n = 1 утверждение очевидно. Проверим его при n = 2:

\frac{1-x_1}{1+x_1}\cdot \frac{1-x_2}{1+x_2} = 1-\frac{2s}{1+s+x_1x_2} \geq 1-\frac{2s}{1+s} = \frac{1-s}{1+s}.

Переход. Пусть x_1 + \dots + x_n = S. Тогда

\frac{1-x_1}{1+x_1} \cdots \frac{1-x_n}{1+x_n} \cdot \frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}} \geq \frac{1-S}{1+S} \cdot \frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}} \geq \frac{1-(S+x_{n+1})}{1+(S+x_{n+1})}.
2 симпатии
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)