Помогите с объяснением решения


Во первых как вывели уравнение (3), во вторых,
Разве в уравнении (4) не лишняя V0?

1 лайк

Рассмотрим малые колебания идеального газа в цилиндре:
В состоянии равновесия в обеих частях цилиндра одинаковый объем газа: (V_1=V_2=V_0)


Теперь допустим, что поршень двинулся на малое расстояние x вправо:

Изменение объема \Delta V можно выразить так:

\Delta V=Sx

Объемы V_1',V_2', после перемещения поршня:

V_1'=V1+\Delta V=V_0+\Delta V=V_0+Sx
V_2'=V2-\Delta V=V_0-\Delta V= V_0 - Sx

Учитывая малость перемещения x<<\frac{V_0}{S}, воспользуемся первым приближением:

(1+x)^n\approx1+nx, |x|<<1
V1'^\gamma=(V_0+Sx)^\gamma=V_0(1+\frac{Sx}{V_0})^\gamma\approx V_0(1+\frac{\gamma Sx}{V_0})
V_2'^\gamma=(V_0-Sx)^\gamma=V_0(1-\frac{Sx}{V_0})^\gamma\approx V_0(1-\frac{\gamma Sx}{V_0})

А окончательный результат выходит так:

p_1'V_1'^\gamma=p_2'V_2'^\gamma \longrightarrow p_1'V_0(1+\frac{\gamma Sx}{V_0})=p_2'V_0(1-\frac{\gamma Sx}{V_0})
p_2'=p_1'\frac{(1+\frac{\gamma Sx}{V_0})}{(1-\frac{\gamma Sx}{V_0})} \longrightarrow p_2'\approx p_1'(1+\frac{\gamma Sx}{V_0})^2\approx p_1'(1+\frac{2\gamma Sx}{V_0})

Здесь тоже были использованы приближения:

\frac{1}{(1-\frac{\gamma Sx}{V_0})}=(1-\frac{\gamma Sx}{V_0})^{-1}\approx(1+\frac{\gamma Sx}{V_0})
(1+\frac{\gamma Sx}{V_0})^2\approx(1+\frac{2\gamma Sx}{V_0})

Отсюда находим разность давлений:

\Delta p=p_2'-p_1'=p_1'(\frac{2\gamma Sx}{V_0})

Здесь также нужно воспользоваться приближением за счет малости колебаний:

p_1'\approx p_0\longrightarrow \Delta p\approx p_0(\frac{2\gamma Sx}{V_0})

Дальше 2-ЗН:

m\ddot{x}=-\Delta pS\longrightarrow \ddot x +(p_0(\frac{2\gamma S^2x}{V_0}))x=0, \ddot x+\omega^2x=0
\omega=\sqrt{p_0(\frac{2\gamma S^2x}{V_0})}

Проверь размерности

Здесь было использовано уравнение для адиабатического процесса:

pV^\gamma=const
6 лайков

Да я знал что тут уравнение адиабатп используется, но не понял то приближение со степенью, спасибо за блестящее объяснение

1 лайк