Савченко 1.5.14

Физика Механика
1

image
image1463×173 17.7 KB

1.5.14∗ . Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной a.
Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью v.
Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке.
Где встретятся черепахи и через какое время?

Сем привет. Я смотрел решение этой задачи и она классно решается через разбиение скоростей на радиальную и тангенациальную, но меня заинетерсовала та кривая, которой является траектория черепашек, помогите ее вывести пожалуйста

Я ввел прямоугольную систему и записал вот это

\vec V_{1} = \vec V_{1x} + \vec V_{1y}
\vec V_{2} = \vec V_{2x} + \vec V_{2y}
\sqrt{V_{2x}^2 + V_{2y}^2} = \sqrt{V_{1x}^2 + V_{1y}^2} = V^2

Также из симметрии задачи

\vec V_1 \perp \vec V_2 \iff \vec V_1 \vec V_2 = 0

обобщив на n и n+1 (хотя справедливо только и для квадрата) и пошаманив с алгеброй, вот такое соотношение

V_{n+1x}^2 + V_{nx}^2 = V^2

Мне почему-то кажется, что по крайней мере зависимость Vx(x) можно вывести, но не знаю как приплести сюда х

1 лайк
2024: годовой обзор
2

На ютубчике есть объяснение от Павла Виктора)

6 лайков
3

Его как раз и видел) но я же про другое спрашивал в теме/

Я хочу как-то получить то уравнение траектории, просто удивительный факт, что вся ее длина равна а. Хочется проверить :melting_face:

3 лайка
4

Оно оказывается просто выводится в полярных

-\frac{dr}{dt} = \frac{V}{\sqrt2} => r = \frac{a-Vt}{\sqrt2}
r\frac{d\phi}{dt} = \frac{V}{\sqrt2} => \phi = \ln\frac{a}{a-Vt}

Можно и в декарты перевести, начало в центре квадрата

x = r\cos\phi = \frac{a-Vt}{\sqrt2}\cos\ln\frac{a-Vt}{\sqrt2}
y = r\sin\phi = \frac{a-Vt}{\sqrt2}\sin\ln\frac{a-Vt}{\sqrt2}

но длину чот не появилось желание проверять там брух ;))

7 лайков
5

Да там нормально длина считается в задаче, та же идея возникает, что и в простом решении (L=vt), интеграл просто обратно красиво сворачивается, ведь квадраты синуса и косинуса дают единицу.

L=\int\limits_{t_1}^{t_2} dL=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\dot x^2(t)+ \dot y^2(t)} dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\dot r^2(t)+ r^2\dot \varphi^2(t)} dt

Ну если подставить всё, определив границы интегрирования, то будет правильный ответ.

Еще конечно можно изначальные уравнения переписать в виде r(\varphi) и воспользоваться вот этим L=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2(\varphi)+ (r'_{\varphi}(\varphi))^2} d\varphi

Учитывая, что у нас \displaystyle r=\frac{a}{\sqrt 2} e^{-\varphi} то решение это логарифмическая спираль для неё известно в принципе всё.

6 лайков
6

то решение это логарифмическая спираль

спасибо

1 лайк
7

image
Рассмотрим изменение координат черепах за маленький промежуток времени dt
За время dt расстояние между соседними черепахами изменилось с a на a'
Выразим a' по т.Пифагора

a' = \sqrt{(a-dx)^2 - d^2x}

С учетом малости величины dx

a' = \sqrt{a^2 - 2a\, dx}
a' = a\sqrt{1 - \frac{2dx}{a}}

Воспользуемся формулой для малых величин (1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x, где x\rightarrow 0:

a' = a - dx

Таким образом, приращение координаты a равно

da = a' - a = dx

Отсюда, скорость изменения расстояния между черепахами равна

u = \frac{da}{dt} = -\frac{dx}{dt}=-v

Отсюда следуеь, что через a=0, через промежуток времени

t = a/v

Из симметрии задачи, следует, что все черепахи пройдут одинаковый путь и окажутся в центе квадрата.

NO: Интересно было бы узнать, что было бы если был бы не квадрат? Если было бы не 4 черепахи, а n штук? Более развернутую версию задачи можно найти в “Очень длинных физических задачах” А.И.Слободянюка(Задача 1)

Источник: savchenko-physics.github.io

5 лайков
8

бро начал монополизацию решении савченко🦅

5 лайков