Конкретно в этой задаче поступаешь так. Рассмотри определённый момент времени, когда скорость первой тележки была v_i, а второй тележки v_j, когда груз находился на первой тележке. При i=j=1 скорости будут соответственно v_1 и v_2 (и, что ж, v_{j=1}=v_1=v_2 может вызвать путаницу). Записываешь обмен импульсами при перебрасывании туда-обратно, закон сохранения импульса для системы в целом, и решаешь уравнения таким образом, чтобы избавиться от индекса, например, j и добиться такого уравнения, где содержатся чисто v_i или v_{i+1}
Далее приступает чисто математическая часть. Обобщая, тебе в основном придётся решать только линейные рекуррентные соотношения, так что я объясню их на нескольких примерах.
Арифметическая прогрессия
Например a_{i+1} = a_i + d это типичный пример арифметической прогрессии. Если мы знаем значение a_i для одного конкретного индекса (допустим, i=1, т.е. нам известен a_1), тогда через исходное рекуррентное соотношение можно найти соседние значения, и так далее – вплоть до самого произвольного a_i как функция от индекса i. То есть:
a_i = a_{i-1}+d = (a_{i-2}+d) + d = ((a_{i-3}+d)+d)+d = ... = a_1 + (i-1)d.
Геометическая прогрессия
Для геометрической прогрессии вида b_{i+1}=b_i\cdot q можешь аналогичными рассуждениями выяснить, что b_i = b_1\cdot q^{i-1}.
Числа Фибоначчи
И, напоследок, ещё покажу на примере вывода формулы i-го числа Фибоначчи F_i. Как известно,
F_1=F_2=1,\qquad F_{i}=F_{i-1}+F_{i+1}
Как работать с этим рекуррентным соотношением? Для таких уравнений подбирают общее решение, которое имеет форму степенной зависимости от индекса, т.е. F_i = \lambda^i. Почему это подходит? Потому что если подставить это в исходное рекуррентное соотношение, то получится следующее:
\lambda^i = \lambda^{i-1}+\lambda^{i-2}\quad\Rightarrow\quad\text{разделим на }\lambda^{i-2}\quad\Rightarrow\quad \lambda^2 -\lambda-1=0.
Мы успешно смогли избавиться от индекса i – а значит т.н. характеристическое уравнение выше будет работать для любых “соседствующих” элементов последовательности. Отсюда мы получаем две различные вещественные лямбды
\lambda_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt5}{2}.
Поскольку оба корня соответствуют заданному требованию F_i = \lambda^i, то значит и сумма таких решений F_i = \lambda_1^i + \lambda_2^i будет нашим решением (это следует из линейности нашего рекуррентного соотношения; подставь сам, раскидай по соответствующим индексам, и всё будет видно наглядно). Осталось добавить последнее замечание:
-\frac{1}{\lambda_2}=\lambda_1=\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2},
то, что мы ещё знаем как золотое сечение. Обобщим эту формулу, добавив постоянные коэффициенты c_1 и c_2 и найдя их через начальные условия:
F_i = c_1\lambda_1^i+c_2\lambda_2^i,
\quad\Rightarrow\quad
\begin{matrix}F_1=1 = c_1\lambda_1+c_2\lambda_2,\\F_2 = 1 = c_1\lambda_1^2+c_2\lambda_2^2.\end{matrix}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{matrix}\displaystyle c_1=\frac{1}{\lambda_1}\frac{\lambda_2-1}{\lambda_2-\lambda_1}=\frac{1}{\varphi}\frac{1+\varphi}{1+\varphi^2}=\frac{1}{\sqrt5},
\\\space\\
\displaystyle c_2=\frac{1}{\lambda_2}\frac{\lambda_1-1}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{(1-\varphi)\varphi^2}{1+\varphi^2}=-\frac{1}{\sqrt5}=-c_1.\end{matrix}
Оттого наш общий член последовательности F_i приобретает такой вид:
F_i = \frac{\varphi^{i}-(-\varphi)^{-i}}{\sqrt5}.
Конкретно у тебя при решении задачи выйдет что-то вроде
v_{i+1} = \alpha v_i + f.
Итерацией можно увидеть определённый паттерн, и отсюда вывести общую формулу для v_i:
v_i=\alpha v_{i-1}+f =\\=\alpha(\alpha v_{i-2}+f) + f = \alpha^2 v_{i-2} + f(1+\alpha)=\\=\alpha(\alpha (\alpha v_{i-3}+f)+f) + f = \alpha^3 v_{i-3}+f(1+\alpha+\alpha^2)=\\=\alpha^{i-1} v_1 + f(1+\alpha+\alpha^2+...+\alpha^{i-1}) =\\...\\=\alpha^{i-k}v_{i-k} + f(1+\alpha+\alpha^2+...\alpha^{k-1} )\Big|_{k=i-1}= \\=\boxed{ \alpha^{i-1}v_1+f\frac{1-\alpha^{i-1}}{1-\alpha}}
