Задача в 3 балла с Смагуловской олимпиады

Математика Теория Чисел
1

Натурал a,b,c сандары берілген. ЕКОЕ(a,b)=60 EKOE(b,c)=150 EKOE(a,c)=300 EKOE(a,b,c)=300 EYOБ(a,b,c)=1. abc=?

Даны натуральные числа a,b,c. Оказалось что, НОК(a,b)=60 НОК(b,c)=150 НОК(a,c)=300 НОК(a,b,c)=300 НОД(a,b,c)=1. abc=?

Возможно, это элементарная задача, но я не вижу решения. Если у вас есть какие-то идеи можете присылать.

2

Будем пользоваться такими обозначениями: НОД(a,b)=(a,b), \ НОК(a,b)=[a,b].

Для начала, поймём, почему ab=(a,b)\cdot [a,b].
Пусть (a,b)=d, тогда a=a_1d,\ b=b_1d. \Rightarrow [a,b]=a_1b_1d. Из чего следует утверждение.

Теперь

[a,b,c]=\frac{abc\cdot(a,b,c)}{(a,b)(b,c)(a,c)}

Это несложно понять, если представить нахождение НОК трех чисел (обычным методом, как в учат в школах). Также можно представить круги Эйлера, где круги - числа, содержащие определенные делители.

Учитывая эти две формулы, заменим каждый НОД (a,b) на \frac{ab}{[a,b]}. В итоге получаем

abc=\frac{(a,b,c)[a,b][b,c][c,a]}{[a,b,c]}
5 лайков