Думаю будет полезно пояснить откуда возникли эти страшные корни. На самом деле все просто и в процессе выведения явных решений линейных рекурсий нет ничего сложного.
Пусть нам дано рекуррентное соотношение
a_n = p\cdot a_{n-1} + q\cdot a_{n-2},
и известны значения a_1,a_2,p,q. Пусть x_1, x_2 – корни уравнения x^2 - px - q=0. Данное уравнение называется характеристическим уравнением рекуррентной последовательности. Тогда должны существовать такие A и B, что
a_n = Ax_1^n + Bx_2^n \quad \forall n\in \mathbb{N}
Для нахождения A, B просто подставим n=1 и n=2 и решим систему из двух уравнений, откуда получим явную формулу
\begin{cases}
a_1 = Ax_1 + Bx_2 \\ a_2 = Ax_1^2 + Bx_2^2
\end{cases}.
Конкретно в нашем случае мы имеем
g_n = 3\cdot g_{n-1} + 3\cdot g_{n-2}, \quad g_1 = 3,\ g_2 = 12.
Отсель получаем характеристическое уравнение – x^2 - 3x - 3 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{21}}{2}. Следовательно
g_n = A\cdot \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right)^n + B\cdot \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}\right)^n \tag{$*$}
Остается найти A,B. Подставляем n=1, n=2
\begin{cases}
3 = A\cdot \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right) + B\cdot \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}\right)\\
12 = A\cdot \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right)^2 + B\cdot \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}\right)^2
\end{cases}
Решаем простенькую систему и получаем, что
A = \frac{2\sqrt{21}}{7(3+\sqrt{21})}, \quad B = \frac{21 + 5\sqrt{21}}{7(3+\sqrt{21})}.
Далее подставляем в (*) и вуаля! 
g_n = \frac{2\sqrt{21} \left(\frac{3}{2}\ - \frac{\sqrt{21}}{2}\right)^n + (21 + 5\sqrt{21}) \left(\frac{3}{2} +\frac{\sqrt{21}}{2}\right)^n}{7(3 + \sqrt{21})}.
Подробнее про рекурсию можно почитать тутъ