Часто на олимпиадах вы решаете задачи в своем любимом стиле и своим любимым методом,но порой проверяющий может не уловить ход ваших мыслей и просто снять баллы за то,что некоторые очевидные вещи могут быть неочевидными для остальных
Для недопущения вышеуказанной ситуации,я решил начать небольшую игру(возможно кто-то из вас ее продолжит),суть которой будет не просто решение задач,а в нахождении ошибок в чужих решениях))Это должно помочь в формулировании ответов решений в будущем
И так,вот задача,за которую мне чуть 0 баллов не влепили,ведь я использовал немного нестандартный метод и неправильно некоторые вещи сформулировал:
Существуют ли такие целые числа p и q , что при любых целых значениях x выражение x^2 + px + q кратно 3?
Мое решение(пишу на память) с 2 ошибками в формулировке:
Заметим,что выражение можно представить в виде квадратной функции.Отсюда выходит,что q никак не влияет на скорость роста функции.Даже в представлении функции в виде производной показывает,что она никак не влияет,то есть это производная вида 2x+p.Заметим,что производная это линейная функция,которая не параллельна оси Ох.Это показывает,что она может быть в каких-то значениях кратно 3,но не всегда,а если производная функции не всегда кратно трем при целых х,то и сами значения функции не всегда будут кратны 3
Надеюсь,вы найдете эти 2 ошибки или найдете иные в формулировках)Писал на память,не точь в точь
Ну,это я здесь уже неправильно выразился,а не в официальном решении.Все же,полезное замечание.
Да,это не метод представления функции,а репрезентация ее скорости роста в виде функции относительно х(то есть в каком значении Х с какой скоростью она растет)
Например,функции х^2+2x+2 и x^2+2x+12 являются двумя разными функциями,но производная у них схожа(это 2x+2),то есть они растут с одинаковой скоростью во всех значениях Х А так,еще не были найдены 2 ошибки в формулировке,которые я допустил и здесь,и на олимпиаде)
Если я правильно помню учебник по математике, то когда говорят вид функции, говорят через коэффициенты, а не заданные числа. То есть данная производная является функцией вида kx + b, где k и b – действительные числа
И я так полагаю, тут нужно уточнить, что говорится про данную производную, которая была упомянута ранее?
В принципе,нет.Тут и так это понятно.
Одна ошибка состояло в том,что я не упомянул,что функция непрерывная(хотя,по-моему мнению,это вполне очевидно из того,что я сказал о том,что это линейная функция),то есть функция не прерывается и всегда по прямой линии.Ведь может быть такое,что функция имеет значения только на определенных точках/отрезках
Хм,так действительно звучит намного лучше и понятнее,но смысл,в принципе,тот же. БТВ,можете скинуть мануал по пользованию латехом на этом сайте? Я вроде общепринятые правила и вещи использую,но все равно у меня не работает:-/
Тут я смело утвердил,что q никак не влияет на скорость роста функции и на функцию,в общем.В действительности,она никак не влияет,но я должен был объяснить почему.
Я должен был написать,что она влияет только на точку пересечения с осью Оу(просто х приравнивайте к нулю) ,но в общем и целом,она никак не влияет и q можно приравнять к нужному и удобному нам числу в самом конце
В данном примере это невозможно ни при каких значениях p q,но для ясности я могу найти пример,где работает и не работает
Например,простое уравнение y=3x и его производная y’=3,где 3 скорость изменения функции
Еще один пример
y=3x^2+px+q,где y’=6x+p.Тогда уже можно подставить вместо p и q числа,кратные 3 и значения функции всегда будет кратно 3
Теперь пример на неверность
y=x^3,где y’=3x^2.Казалось бы,у нас производная кратна 3 и функция всегда должна давать значения,кратные 3,но нет.Стоит не забывать,что значения производной-это скорость роста функции в определенных точках.Например,в примере указана кубическая функция y=x^3.Если мы вместо х подставим 0,то в обеих уравнениях у нас выйдет у=0.Действительно,функция в этой точке равна 0 и не растет никак(если проведем касательную через эту точку,то она будет параллельна оси Ох.
Использованный мною метод доказательства скорее работает для доказательства неверности,нежели верности делимости(Может быть я где-то ошибся,ведь я тоже человек:D)
Смотри,можно рассуждать такой логикой.Я попробую немного иначе подойти к задаче
уравнение вида x^2+px+q.Так как слагаемое с q является константой и ни от чего не зависит,мы можем его выкинуть,так ка числа x^2+px и (х+1)^2+p(x+1) имеют одинаковые остатки по модулю 3. Тогда у нас остается уравнение вида x^2+px,которое равно х(х+р).Допустим,нашелся х0,который удовлетворяет условиям.Без ограничения общности скажем,что х0(х0+р) кратно 3(мы можем взять любой остаток при делении на 3).Значит и число (х0+1)(х0+р+1) должно быть кратно 3.Там есть достаточно много случаев для разбора,где нужно рассмотреть,что либо одно из множителей,либо оба кратны трем,после чего там выйдет,что ни при каких случаях это не выполняется(распишу позже,так как сейчас я уже подустал,но я думаю,что ты сам это сможешь сделать:D)
Да,такие конечно существуют,потому что производная непрерывная линейная функция,где коэффициент перед х некратен 3,а значит если даже при каком-то х0 2х+р будет кратен 3,то на следующем он не будет,и скорость роста функции перестанет быть кратен 3
