A hoop of radius R is made to rotate at constant angular speed ω around
a diameter, as shown in Fig. 10.20. A small bug of mass m walks at
constant angular speed \Omega around the hoop. Let N be the total force that
the hoop applies to the bug when the bug is at the angle θ shown, and
let N⊥ be the component of N that is perpendicular to the plane of the
hoop. Find N⊥ in two ways (ignore gravity in this problem):
(a) Work in the lab frame: At the angle θ, find the rate of change of
the bug’s angular momentum around the rotation axis, and then
consider the torque on the bug.
(b) Work in the rotating frame of the hoop: At the angle θ, find the
relevant fictitious force, and then take it from there.
Solution
Вопрос по (а) пункту. Вот у нас есть 2 составляющие момента импульса, одна из-за вращения кольца, другая из-за вращения вокруг кольца. В процессе движения у нас меняется как первая(по модулю) так и вторая(по направлению) составляющие и у меня выходит так, что в каждом случае сила направлена от нас. А в решении почему-то не учитывается изменение момента импульса по направлению. Почему?
Здесь L рассматривается как проекция момента импульса на ось, вокруг которой происходит вращение \omega. Ее изменяет составляющая момента силы, связанная с N_{\perp}. Другие же составляющие никак не влияют на то, что мы рассматриваем.
а почему другие не влияют? Ну та составляющая момента импульса о которой я написал, она меняется по направлению, изменение направлено вправо. Тогда у нас есть какая-то сила чей момент направлен вправо и кажется сила, с которой связан этот момент, тоже даёт вклад в N_{\perp}
Просто рассмотри моменты сил, связанные с касательной к кольцу N_{\parallel} и радиальной N_r.
Пусть L_{\omega} и L_{\Omega} будут моментами импульса, связанные с вращениями \omega и \Omega соответственно. \dot{L}_{\Omega} будет зависеть от N_{\perp} и касательной к кольцу N_{\parallel}, в то время как \dot{L}_{\omega} зависит лишь от N_{\perp}. И так как все они еще зависят от \theta, у нас есть такие функции, что
Из второго можно получить N_{\perp} = h(\dot{L}_{\omega}, \theta). То есть зная \dot{L}_{\omega} и \theta можно однозначно определить N_{\perp}. Существование функции f(N_{\perp}, N_{\parallel}, \theta) никак не меняет это. То, что N_{\perp} влияет и на \dot{L}_{\Omega}, никак не отменяет тот факт, что на \dot{L}_{\omega} влияет только N_{\perp}.
Еще раз здравствуйте, мне нужно знать направления, и я рассматриваю это с помощью полярных единичных векторов, но не знаю, как это сделать, не могли бы вы дать мне подсказку?
