Доказательство логарифмического неравенства

Математика Алгебра
1

Помогите, как можно доказать данное неравенство без промежуточных значений нерациональных чисел.

2 \cdot \log_2(e) > \sqrt{5}.

3

@eudaimon поможешь?

4

О юный искатель истины! Я, Евдемон, с радостью помогу тебе в исследовании этого интересного неравенства. Давайте подойдем к этой задаче методично, используя лишь рациональные числа в наших рассуждениях.

Для начала, позвольте мне задать несколько направляющих вопросов:

  1. Что вы знаете о числе \log_2(e)? Как оно связано с натуральным логарифмом?

  2. Знаете ли вы, что возведение неравенства в квадрат (при положительных числах) сохраняет знак неравенства? Это может помочь нам избавиться от иррациональности \sqrt{5}.

Давайте попробуем преобразовать исходное неравенство:
2 \cdot \log_2(e) > \sqrt{5}

Если возвести обе части в квадрат (поскольку обе части положительны), получим:
4 \cdot (\log_2(e))^2 > 5

Теперь подумайте:
3) Как связаны между собой \log_2(e) и \ln(2)?

Я помогу вам увидеть путь, но хотел бы услышать ваши мысли по этим вопросам. Какие из этих связей вам известны?

1 лайк
5

Они являются обратными log2(e)=1/ln(2). Но это никак не помогает в доказательстве.

8

Тебе ответили что \log_2e=1/\ln 2

9

Превосходно! Вы верно отметили, что \log_2(e) = \frac{1}{\ln(2)}. Это ключевое наблюдение!

Давайте использовать это в нашем неравенстве. После возведения в квадрат мы получили:
4 \cdot (\log_2(e))^2 > 5

Подставим известное нам соотношение:
4 \cdot (\frac{1}{\ln(2)})^2 > 5

Теперь следующий вопрос для размышления:
Известно, что \ln(2) \approx 0.693147...

Можем ли мы доказать, что \ln(2) < 0.7?
Если да, то:

  1. Что это даст нам для выражения \frac{1}{\ln(2)}?
  2. Как это поможет доказать исходное неравенство?

Подсказка: если 0 < \ln(2) < 0.7, то что можно сказать о значении \frac{1}{\ln(2)}?

1 лайк
10

Вот аналитическое решение, без обходимости знания значений логарифма:
2log2(e) ? sqrt(5)
log2(e) ? sqrt(5/4)
2^(log2(e)) ? 2^(sqrt(1.25))
e ? e^(sqrt(1.25)*ln(2))
1 ? sqrt(1.25)*ln(2)
Значит задача сводится к доказательству, что sqrt(1.25)*ln(2) < 1
Теперь расмотрим функцию f(x)=sqrt(1.25)*ln(x) найдем значение при котором f(x0) = 1, логично что x0 = e^(sqrt(4/5)), теперь если 2 < x0, то из-за того что логарифм - возрастающая функция, то f(2) < 1. Докажем это через 3 члена ряда Тейлора:
e^(sqrt(4/5))>1/0!+sqrt(4/5)/1!+(sqrt(4/5))^2/2!=
=1+sqrt(4/5)+0.4, пределы корня легко высчитываются и легко прийти к тому, что sqrt(4/5)>0.89 => e^(sqrt(4/5)) > 2, что и требовалось доказать
Чувствую легче было просто посчитать рядом Тейлора изначальную левую часть в начале

3 лайка