График Аррениуса


У меня вопрос , как вообще найти наклон и точка пересичения в линейных графиках . Пример этого , графика аррениуса.

  1. как нашли y=-22.651x+27.707
  2. Почему они умножили температуру на 1000

Надеюсь будет понятно.

если честно особа не понял…

Можешь вообще не париться с наклоном, так как это можно вывести. Например у тебя линейное уравнение имеет вид y = ax + b
На самом графике можешь выбрать 2 значения y1 и y2 , и x1, х2. Затем у тебя получится уравнение из двух неизвестных а и b :
y1 = ax1 + b
y2 = ax2 + b
Отнимая второе уравнение от первого, получается y2-y1 = a(x2-x1). Отсюда а = (y2-y1) \ (x2-x1). Это и есть тот самый наклон.
Ну или второй способ - использовать тригонометрию

Линейная функция имеет вид y = f(x) = a*x + b, где a это наклон (англ. slope), а b это пересечение с осью ординат (вертикальной линией x = 0). Значит точку пересечения с осью ординат можно найти просто подставив x = 0 в линейную функцию.

В чем смысл наклона? Попробуй нарисовать графики функций y = 3x +2, y = 10x + 9, y = 0.5x + 3, y =0*x+0.5, y =-2x+3, y = - 4x +0.4, y = -0.5x + 2. Ты заметишь что в зависимости от значения наклона график становится круче (англ. steep). Соответсвенно чем больше |a| тем круче наклон графика.

В целом нам даны определенные точки и нужно провести между ними самую подходящую линию, соответственно ты нарисуешь график линейной зависимости. Обычно лучший график получается линейной регрессией (linear regression) где нужно минимизировать среднюю квадратичную ошибку (mean square error). Что это за метод ты можешь узнать в открытых источниках в инете. В результате линейной регрессии ты получишь параметры а и b (наклон и пересечение с осью ординат). После чего на миллиметровой бумаге надо было красиво начертить функцию y = f(x) = ax+b.

К сожалению автор самой задачи в решениях никак не показал вывод уравнения линии.

А кратность температуры в тысячу взяли лишь для более красивого вида графика: вместо цифр 1000, 1050, 1100, 1150, и тд можно указать меньшие цифры. Кратностью записывать вообще не обязательно, всё на твой собственный вкус.

1 симпатия

На классных калькуляторах можно вбивать значения x y и получить параметры a и b.
Калькулятор, на сколько я знаю, будет считать по методу наименьших квадратов (МНК).
Где-то в плане подготовки на погода не Антон писал, что “уже в 10 классе ты должен знать что такое линейная регрессия” . Так вот, линейная регрессия по методу наименьших квадратов, или просто “аппроксимация”, позволяет описать набор точек, которые лежат примерно на одной прямой, с помощью функции вида f(x)=a+bx , где а и b - константы, или параметры. Именно их тебе и надо найти!
Можешь забить в Ютубе " Метод Наименьших Квадратов" и посмотреть пару видиков. Вывод запоминать не надо - надо лишь запомнить конечные формулы по вычислению а и b.
Кстати, таким же методом считает и Excel из которого и взять график на картинке автора! Т.е. ты можешь забить в тот же Excel точки и построить график если тебе, допустим, понадобилось просто для себя решить задачу по типу “даны точки: посчитайте slope, intercept”
Этот метод берёт геометрический центр всех точек и считает относительно его квадраты расстояний от данных точек до приблизительной прямой. По названию, думаю, ясно, что он старается сделать эти квадраты наименьшими.
Единственный минус, который я на себе испытал - это оооочень долгий расчёт вручную. Но если так посчитать - можно реально удивить членов жюри))))

Данный график был выведен на основе уравнения Аррениуса: lnk= lnA - Ea/RT
Как видно, lnA и Ea/R = const.
И здесь y=lnk ; lnA = b; -Ea/R = k в функции y=kx+b а переменной является 1/Т. Чем больше Т, тем значение 1/Т будет все больше стремится к нулю. Возможно этим можно объяснить умножение 1000, для большего удобства, но вы не должны забывать об этом при решении.
Значения 22
В линейных графиках точку пересечения с осью х находят подставляя в значение у=0, а точку пересечения по оси у — наоборот.
y=-22,651x+27,07 нашли по координатам х и у составив систему уравнений с двумя неизвестными

А я бы лучше понял вывод, ибо вспоминать такие громоздкие формулы в условиях стресса будет довольно сложно. А вывести можно за пару минут. Что я собственно всегда и делал.

Practice makes it perfect

Важно добавить, что эти две точки не должны быть слишком близкими друг к другу. Т.е., например, в данном случае не стоит брать точки 1.23 и 1.26, гораздо лучше взять 1.0 и 1.37.

Вот у меня возник вопрос. В решениях таких задач ответ скорее всего будет немного отличаться от ответа участника. Есть ли что нибудь наподобие нормальной погрешности значения на n% ?

В таких ситуациях, особенно если речь идет о логарифмических значениях (ибо погрешность даже в 0.1 по шкале \ln будет эквивалентна погрешности в 10\% в обычной шкале.), самое главное, чтобы был правильный процесс.

Самая частая ошибка у олимпиадников - если дается таблица с, скажем, 6 различными данными, они просто берут любые две точки и по ним делают расчеты. Это в корне неверно, т.к. эти данные (как правило, подразумевается, что они получены экспериментальным путем) содержат погрешности связанные с самим процессом (погрешность приборов, погрешность самого дизайна эксперимента, погрешность за счет непостоянства иных переменных и т.п.). И поэтому здесь нужно либо использовать метод наименьших квадратов, либо чертить график (что по сути является визуальным применением метода наименьших квадратов)

Как раз таки это я и имел ввиду своего решения(картинка сверху) :grinning: Времени расписать полностью не было

© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)