Надо решить задачу по физике

Физика Механика
4

итак, вот моё окончательное решение.

Это всё я по идее могу записать как

\dot y +2\mu y = \frac{2g}{R}\sqrt{1+\mu^2}\cos(\pi/2+\theta+\arctan\mu),

где y≡\dot\theta^2, \dot y ≡\text{d}y/\text{d}\theta,
и это очень похоже на диффуру для заряда конденсатора в цепи с источником синусоидального напряжения, резистора и конденсатора, т.е. общее решение этой штуки будет суммой частного решения (когда y меняется синусоидально) и решения однородного уравнения (правая часть равна нулю). Тут, конечно, колебаний и не будет)) но во всяком случае это просто соответствует приравниванию коэффициента при \ddot y нулю.

Итак, решаем однородное уравнение:

\dot y + 2\mu y = 0 \quad\rightarrow\quad y = Ce^{\displaystyle -2\mu\theta},

где C определяется заданием начальных условий
Значит, если для уравнения

\dot y + 2\mu y = \frac{-2g}{R}(\sin\theta+\mu\cos\theta)

подобрать решение вида

y = A\cos\theta+B\sin\theta + Ce^{-2\mu \theta}

то, во-первых, первые два слагаемых соответствуют моему выводу выше, а третье слагаемое зависит от того, какие величины мы будем подставлять. То есть для уравнения

\dot\theta^2=\frac{2g}{R}\left(\frac{1-2\mu^2}{1+4\mu^2}\cos\theta-\frac{3\mu}{1+4\mu^2}\sin\theta+ Ce^{-2\mu\theta}\right)

если подставить \dot\theta^2 = g/R для \theta=\pi, то получаем

C=\frac{1}{2}\frac{3}{1+4\mu^2}e^{2\mu\pi}

Следовательно, финальным ответом является

v_0^2 = (\dot\theta(0)\cdot R)^2= gR\left(\frac{2-4\mu^2}{1+4\mu^2} +\frac{3}{1+4\mu^2}e^{2\mu\pi}\right)
11 лайков