Тяжелая частица массы m1 сталкивается с покоящейся легкой частицей
массы m2. На какой наибольший угол может отклониться тяжелая частица
в результате упругого удара?
]()
производная не выходит,можете подсказать где может быть ошибка
]()
производная не выходит,можете подсказать где может быть ошибка
1 лайк
Уравнения у тебя правильные, но их удобнее написать через импульсы:
p_2^2=p_0^2+p_1^2-2p_1p_0\cos\alpha
\frac{p_0^2}{2m_1}=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}
Но ты дальше че то от угла \beta так и не избавился и поэтому у тебя не выходит ответ. На самом деле есть и более легкий метод решения данной задачи:
- Сначала надо выразить p_0 через p_1,p_2:
p_0=\sqrt{p_1^2+p_2^2\left (\frac{m_1}{m_2}\right)}
- Затем надо выразить косинус угла:
\cos \alpha=\frac{p_0^2+p_1^2-p_2^2}{2p_1p_0}=\frac{2p_1^2+p_2^2 \left( \frac{m_1}{m_2}-1\right)}{2p_1\sqrt{p_1^2+p_2^2\left (\frac{m_1}{m_2}\right)}}
- Дальше выразим косинус как функцию отношения \frac{p_1}{p_2}:
\cos\alpha=\frac{2(\frac{p_1}{p_2})^2+ \left( \frac{m_1}{m_2}-1\right)}{2(\frac{p_1}{p_2})\sqrt{(\frac{p_1}{p_2})^2+\left (\frac{m_1}{m_2}\right)}}
- Отношение \frac{p_1}{p_2} можно заменить каким то переменным x:
\cos\alpha=\frac{2x^2+ \left( \frac{m_1}{m_2}-1\right)}{2x\sqrt{x^2+\left (\frac{m_1}{m_2}\right)}}
- Значит условием максимального угла отклонения является:
\frac{d\cos\alpha}{dx}=0=\frac{d\left((\frac{2x^2+ \left( \frac{m_1}{m_2}-1\right)}{2x\sqrt{x^2+\left (\frac{m_1}{m_2}\right)}})\right)}{dx}
Если не ошибаюсь есть очень простой - геометрический метод решения этой же самой задачи
8 лайков
Есть какое-то быстрое решение этой производной,а то я час её где-то решаю.
1 лайк
Я оказывается жестко тупанул,но все ровно не выходит.Еще ошибка в начале была,а начало было далеко от от того где я находился
1 лайк
Можешь потренироваться.
Этим методом выходят слишком громоздкие вычисления, поэтому я предлагаю сделать иначе:
Так вот
\cos\alpha=\frac{2p_1^2+p_2^2(\frac{m_1}{m_2}-1)}{2p_1\sqrt{p_1^2+p_2^2(\frac{m_1}{m_2})}}
Давай попробуем использовать отношение \frac{p_2}{p_1} вместо \frac{p_1}{p_2}, причем будем считать что (\frac{p_2}{p_1})^2=z и \frac{m_1}{m_2}=\zeta:
\cos\alpha=\frac{2+(\frac{p_2}{p_1})^2(\frac{m_1}{m_2}-1)}{2\sqrt{1+(\frac{p_2}{p_1})^2(\frac{m_1}{m_2})}} \Rightarrow \cos\alpha=\frac{2+z(\zeta-1)}{2\sqrt{1+z\zeta}}
Условием экстремума является: (здесь мы найдем производную без всякой сложности)
\frac{d\cos\alpha}{dz}=0\Rightarrow\frac{\zeta-1}{\sqrt{1+z\zeta}}-\frac{\zeta(2+z(\zeta-1))}{2(1+z\zeta)^{3/2}}=0 \Rightarrow2(1+z\zeta)(\zeta-1)=(2+z(\zeta-1))\zeta \Rightarrow 2(\zeta-1+z\zeta^2-z\zeta)=2\zeta+z(\zeta^2-\zeta)
Находим значение z, которое соответствует условиям экстремума и подставляем ее значение в функцию \cos(z):
z_{ext}=\frac{2}{\zeta(\zeta-1)}\Rightarrow(\cos\alpha)_{ext}=\frac{2+\frac{2}{\zeta(\zeta-1)}(\zeta-1)}{2\sqrt{1+\frac{2}{\zeta(\zeta-1)}\zeta}} \Rightarrow (\cos\alpha)_{ext}=\frac{\sqrt{(\zeta+1)(\zeta-1)}}{\zeta}=\frac{\sqrt{\zeta^2-1}}{\zeta}
Отсюда и выходит ответ. Ответ выглядит намного проще для синуса угла:
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{\zeta^2-1}{\zeta^2}}=\frac{1}{\zeta}=\frac{m_2}{m_1}
9 лайков
кстати, есть еще одно классное решение на сайте CalTech’а
8 лайков
ничего себе какое простое решение,спасибо огромное.Но хотел спросить почему когда мы берем производную у нас выходит только одно значение переменной x,хотя производная находит же максимальное и минимальное значение.Типо вдруг произваодная выдала максимальное значение косинуса то есть угол маленький,а надо наибольший.
1 лайк
Вряд ли такое возможно. Ну давай посмотрим на график функции:
\cos\alpha(z)=\frac{2+z(\zeta-1)}{2\sqrt{1+z\zeta}}\Rightarrow y(x)=\frac{2+x(a-1)}{2\sqrt{1+xa}}
Из графика видно что есть только одно точка, где \frac{dy}{dx}=0, которая и соответствует минимальному значению функции (т.к. по правую и левую сторону она бесконечно растет)
4 лайка
Производная находит критические точки. Их может не быть вообще, может быть одна, две, три, пять, сто.
Каждая из этих точек может быть минимумом, максимумом или точкой инверсии.
буква а лишняя. производная.
Характер критической точки проверяется знаком второй производной. Если d^2 f/dx^2>0 – это минимум, d^2 f/dx^2<0 – максимум. d^2 f/dx^2=0 – точка инверсии.
Хотите убедиться что найден минимум – возьмите вторую производную
8 лайков
Если кого-то интересует этот метод, то вот:
Рассматривая столкновение в системе отсчета центра масс, где полный импульс системы равен нулю, обе частицы будут двигаться на встречу друг другу с одинаковыми импульсами. Тогда очевидно, что после столкновения они также разлетятся с одинаковыми импульсами, равными изначальным, под произвольным углом к начальному направлению движения. (так как \vec p_1' = -\vec p_2' и \displaystyle \frac{p^2}{m_1} + \frac{p^2}{m_2} = \frac{p_1'^2}{m_1} + \frac{p_2'^2}{m_2})
Переходя в лабораторную систему отсчета, скорость частицы массы m_1 можно представить как сложение вектора v_C (скорость центра масс) и вектора скорости частицы в СО центра масс. Учитывая, что скорость частицы относительно центра масс нам известна, то конец этого вектора будет лежать на окружности с длиной v=m_2v/(m_1+m_2). Из этого следует, что максимальный угол отклонения будет соответствовать касательной к окружности и равен \displaystyle \theta = \sin^{-1}(\frac{m_2}{m_1})
7 лайков