Электронные состояния [18]аннулена


Почему среднее значение скорости электрона = 0? У меня вышло \frac{4h}{2\pi m}

<v>=\frac{-ih}{2\pi m} \int_{0}^{2\pi} \psi^{*}(\varphi) \frac{d}{d\varphi}\psi(\varphi) d\varphi
\psi(\varphi) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{\pm in \varphi}
\psi'(\varphi) = \frac{\pm in}{ \sqrt{2\pi}} e^{\pm in \varphi}
<v>=\frac{-ih}{2\pi m} \int_{0}^{2\pi} \psi^{*}(\varphi) \psi'(\varphi)d\varphi= \frac{-ih}{2\pi m} \int_{0}^{2\pi} \frac{\pm in}{ 2\pi} e^{\pm in \varphi} e^{\pm in \varphi} d\varphi
<v>=\frac{\pm nh}{(2\pi)^2m}\cdot(2\pi-0)=\frac{\pm nh}{2\pi m}=\frac{\pm 4h}{2\pi m}=\pm0.000463

Я конечно не мастер, и даже не профан, но значение 0.000463 нельзя считать за 0 ?

1 симпатия

Насколько знаю, в квантах нет.

У меня вышла такая же формула для средней скорости, поэтому мне кажется дело в другом.

Волновая функция за счет знака \pm описывает сразу две вырожденные орбитали, одну со знаком плюс, другую со знаком минус. Тоже самое и со скоростью: знак \pm в формуле скорости говорит нам о том, что на одной из этих орбиталей скорость со знаком плюс, а на друой со знаком минус. Знак минус в данном случае лишь означает противоположное направление движения. Тогда почему же авторы дали ответ ноль?

Раз у обеих орбиталей одинаковая энергия, то они обе считаются за ВЗМО. Скорее всего, так как ВЗМО две, и у них разные скорости, то авторы за среднюю скорость электрона на этих ВЗМО взяли среднее их скоростей, и в итоге вышло, что:

\langle v \rangle = + \frac{2h}{\pi m} - \frac{2h}{\pi m} = 0
2 симпатии

Я тоже совсем не разбираюсь в теме, но у тебя волновая функция зависит от \varphi, а интегрируешь ты по x. Также интересен тот момент, как ты берешь производную по иксу, хотя опять-таки не видно явной зависимости волновой функции от x. Может где-то надо было делать замену переменных?

1 симпатия

Да, там вместо x должно быть \varphi

Как вывести, что <\varphi> = \pi?

Расчёт среднего значения координаты проводится по формуле:

\langle x \rangle = \int^{b}_{a}x \psi^*(x)\psi(x)dx

Где a и b - нижние и верхние границы интегрирования. Для модели частицы на окружности a=0 , а b=2\pi . При решении для этой модели, мы получаем, что:

\langle φ \rangle = \int^{2\pi}_{0}φ \frac{1}{2\pi}dφ = \frac{φ^2}{4\pi}\bigg|^{2\pi}_{0} = \frac{4\pi^2}{4\pi} - 0 = \pi
2 симпатии

Кстати говоря, если я не ошибаюсь, в уравнении средней скорости в одной из экспонент нужно заменить знак \pm на \mp. Это будет показывать, что в сопряженной волновой функции знак переворачивается и что при умножении сопряженная и обычная волновая функция действительно дают ответ \frac{1}{2\pi}.

С двумя знаками \pm выходит:

\psi^*(φ)\psi(φ) = \frac{1}{2\pi}e^{\pm inφ}e^{\pm inφ}=\frac{1}{2\pi}e^{\pm (inφ+inφ)}=\frac{1}{2\pi}e^{\pm 2inφ}

С разными же знаками получается:

\psi^*(φ)\psi(φ) = \frac{1}{2\pi}e^{\pm inφ}e^{\pm inφ}=\frac{1}{2\pi}e^{\pm (inφ-inφ)}=\frac{1}{2\pi}e^{0}=\frac{1}{2\pi}
2 симпатии

Да, так и надо, потому что \Psi^* это сопряженная функция, то есть у нее знак должен быть противоположный по определению (в случае комплексных функций).

3 симпатии

Можно использовать $\langle \phi \rangle$ для обозначения среднего.

3 симпатии
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)