Используем только счет углов)
Обозначим углы B, C, BAD как 2\beta, 2\gamma, 2x, соответственно.
Пусть вторая точка пересечения описанных окружностей будет F.
\angle BFD= 90 \degree-x
\angle CFD= x+\gamma+\beta
Тогда \angle BFC= 90+\gamma+\beta
Спойлер
Заметим, что в \angle BFC не зависит от x, который определяет точку D на BC. Поэтому, вне зависимости от расположения D, F будет лежать на окружности, проходящую через B и C, такую, что дуга BC стягивает угол, равный 90+\gamma+\beta
3 лайка