Дан треугольник ABC,с AB < AC. На сторонах AB и AC выбраны Y, X такие, что BY=CX=BC. Докажите, что XY \bot OI.
1 лайк
А что такое “O” и “I”?
Я так полагаю, что центр описанной и вписанной окружности соответственно
Да, так и есть
Хорошее упражнение на счет, я тут использовал двойные углы, но на самом деле это вообще не обязательно, то есть 2 \beta = \angle ABC
(я чуть чуть перепутал точки поэтому поменяйте точки X, Y местами)
Первое что приходит на ум это теорема Карно:
AC \perp BD \iff AB^2 - CB^2 = AD^2 - CD^2
Докажем утверждение теоремы Карно для
OI \perp XY \iff OX^2 - IX^2 = OY^2 - IY^2
Сразу заметим что в силу симметрии \Delta BCY и \Delta CBX \implies IY = IB, IX = IC
Выразим OX, OY из \Delta COY, \Delta BOX
OY^2 = OC^2 + CY^2 - 2OC\ast CY \cos{\angle (OC, CY)} =
=R^2 + a^2 - 2 Ra \cos(90 - 2\beta) = R^2 + a^2 - (\frac{b}{sin{2\beta}})a \sin{2\beta} = R^2 + a^2 - ab
Аналогично OX^2 = R^2 + a^2 - ac
Пусть K - точка касания вписанной окружности со стороной BC
Тогда
OX^2 - IX^2 = OY^2 - IY^2
\iff (R^2 + a^2 -ac) - IC^2 = (R^2 + a^2 - ab) - IB^2
\iff ac + IC^2 = ab + IB^2 \iff a(b-c) = IC^2 - IB^2 =
=(CK^2 + IK^2) - (BK^2 + IK^2) =
(Из прямоугольных треугольников \Delta BIK, \Delta CIK)
CK^2 - BK^2 = (p-c)^2 - (p-b)^2 =
(p-c - (p-b))(p-c + (p-b)) = (b-c)((a+b+c) -(b+c)) = a(b-c)
что доказывает наше тождество \implies OX^2 - IX^2 = OY^2 - IY^2 \iff OI \perp XY
8 лайков
Благодарю за решение, но можете поподробнее объяснить почему это так?
Действительно, CB = CY а также CI - биссектриса \angle BCY \implies CI - ось высота, медиана, биссектриса в равнобедренном треугольнике \implies BI = IY