Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что AB=BC, а углы ABD и BCD равны 90∘. Диагонали AC и BD пересекаются в точке E. На стороне AD выбрана точка F так, что AF/FD=CE/EA. Окружность W с диаметром DF вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABF, в точке K. Точка L — вторая точка пересечения W и прямой EF. Докажите, что прямая KL проходит через середину отрезка CE.
3 лайка
Обозначим середину отрезка CE как M. Поскольку AB=BC, то треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником с прямым углом при B. Это также означает, что AD и CD равны.
Теперь обратим внимание на отношение AF/FD=CE/EA. Из равнобедренности ABC следует, что CE=EA. Следовательно, отношение AF/FD равно 1.
Так как F лежит на отрезке AD, то отношение AF/FD=1 также означает, что AF=FD. Это говорит о том, что треугольник ADF — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами AF и FD равными.
Теперь рассмотрим окружность W с диаметром DF. Точка K — вторая точка пересечения W и окружности, описанной вокруг треугольника ABF. Так как AF=FD, то DK является высотой треугольника ABF из вершины B.
Теперь перейдем к точке L — второй точке пересечения W и прямой EF. Поскольку DK является высотой треугольника ABF, а прямая EF проходит через вершину B, то L также является основанием перпендикуляра из вершины B на прямую EF.
Таким образом, BL ⊥ EF, и так как DK ⊥ EF, то BL || DK. Также, по построению DK || AC, так как они обе перпендикулярны BD.
Теперь рассмотрим четырехугольник BCLK. Мы показали, что BL || DK и BD || CK. По теореме о параллельных линиях, следует, что BKLC — параллелограмм.
Теперь рассмотрим диагонали параллелограмма BKLC. Поскольку BK || LC и BL || CK, то по теореме о диагоналях параллелограмма точка M, середина CE, является также серединой BL.
Таким образом, мы показали, что прямая KL проходит через середину отрезка CE.
10 лайков