Как тут получили (2.11)? Я вроде понял, что это получается из разложения ряда Маклорена для синуса, но у меня по-другому выходит. Можете помочь?
4 лайка
покажите?
а почему вы слева до A^3 разложили, а справа только до A?
1 лайк
Просто там \delta_{min} в кубе будет, я подумал слишком замудренно получится. Мне показалось, что ответ вроде чуть-чуть похож, поэтому подумал что справа не надо будет разложение делать
n = \frac{\sin{((A+\delta)/2})}{\sin{(A/2)}} \implies (A+\delta)/2 = \arcsin{(n\sin{(A/2)})}
Возьмем A/2 = B и разложим правую часть уравнения пренебрегая B^4:
\arcsin{(n\sin{B})} \approx n\sin{B} + \frac{n^3\sin^3{B}}{6}
А теперь уже разложим синус (также пренебрегая как сказано выше):
n\sin{B} + \frac{n^3\sin^3{B}}{6} = n \cdot (B - B^3/6) + \frac{n^3}{6} \cdot (B-B^3/6)^3 \approx \\
\approx n \cdot (B - B^3/6) + \frac{n^3}{6}B^3 = nB + \frac{(n^3-n)B^3}{6} = nB + \frac{n(n+1)(n-1)B^3}{6}
Теперь уже подставляем в самое первое уравнение:
B + \delta/2 = nB + \frac{n(n+1)(n-1)B^3}{6} \\
\delta/2 = (n-1)B + \frac{n(n+1)(n-1)B^3}{6} \\
\delta = 2(n-1)B \cdot (1 + \frac{n(n+1)B^2}{6})
В конце используя B = A/2, получаем ответ из книги:
\delta = (n-1)A \cdot (1 + \frac{n(n+1)A^2}{24})
6 лайков
Именно поэтому я почти всегда советую писать разложения используя О-нотацию, сразу видно в конце, если натупил где-то
Например тут если сразу написать
n\left( \frac{A}{2}- \frac{A^3}{48}+O(A^5) \right)=\frac{A+\delta}{2}+O(A^3)
Т.к. O(A^3) поглощать в себя может любые степени A от третьей и выше, то уже видно, что после преобразования у нас не останется ничего выше первой степени
Тут это может показаться многим очевидно, но если вы какую-нибудь огромную дробь с корнями и сложными функциями в ряды пытается разложить, там без О-нотации вообще не очевидно какая точность в конце будет
4 лайка