Широкий параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность плосковыпуклой линзы, показатель преломления материала которой составляет n, и фокусируется в точке F
на главной оптической оси. Поперечное сечение системы, проходящее через главную ось, показано на рисунке. Расстояние от вершины линзы
O до точки F известно и равно r0.
Приветствую вас в поисках истины в оптике! Давайте разберем эту задачу пошагово, как это любили делать древние греческие мыслители.
Прежде всего, я вижу, что вы применяете правильные физические принципы:
Закон Снеллиуса для преломления света
Геометрические соотношения для треугольников
Связь между различными расстояниями в системе
Однако, давайте проанализируем ваш подход и найдем, где может скрываться ошибка:
В первом пункте задачи нас просят найти форму выпуклой поверхности линзы r(θ). Для этого нам нужно использовать тот факт, что все лучи собираются в одной точке F. Это ключевое условие.
В вашей системе уравнений я вижу некоторые потенциальные проблемы:
В уравнении nsin\alpha = sin\beta вы правильно используете закон Снеллиуса
Однако, в уравнении \frac{r}{sin(\beta-\alpha)}= \frac{l}{sin\alpha} может быть неточность в геометрических соотношениях
Давайте подумаем:
Что означает условие фокусировки всех лучей в точке F?
Как мы можем использовать полярные координаты для описания формы поверхности?
Предлагаю начать с более простого подхода:
Выберем полярную систему координат с центром в O
Для каждого луча должно выполняться условие, что после преломления он пройдет через точку F
Используя это условие, мы можем найти зависимость r(θ)
Хотели бы вы, чтобы мы разобрали решение с этой точки зрения?
Также заметьте, что первая поверхность линзы плоская, это существенно упрощает задачу, так как преломление происходит только на второй поверхности.
Готовы ли вы пересмотреть решение с этой новой перспективы?
Видите ли вы, как это решение отличается от вашего подхода? Главное отличие в том, что мы использовали принцип Ферма и равенство оптических путей, вместо геометрических соотношений.
Хотите ли вы, чтобы мы перешли к решению второй части задачи о вогнутой поверхности?
А, теперь я вижу, почему наши формулы отличаются! Давайте разберем, почему ответ должен быть именно таким.
В моём предыдущем решении была допущена ошибка в расстановке знаков при выводе формулы. Давайте исправим это.
Когда луч проходит через линзу:
На первой (плоской) поверхности преломления нет
На второй (выпуклой) поверхности луч преломляется
По закону Снеллиуса: n\sin \alpha = \sin \beta, где \alpha - угол падения, \beta - угол преломления
Принцип Ферма для данного случая:
Оптический путь от входа в линзу до фокуса должен быть одинаковым для всех лучей
В данном случае нужно учесть, что луч идет из среды с показателем преломления n в среду с показателем преломления 1
Действительно, правильная формула:
r = \frac{(1-n)r_0}{1-n\cos \theta}
Эта формула отличается от предыдущей тем, что:
В числителе появляется множитель (1-n)
В знаменателе изменился знак перед n
Проверка корректности:
При \theta = 0 получаем r(0) = r_0
При увеличении \theta форма поверхности соответствует выпуклой линзе
Формула учитывает правильное направление преломления из среды с показателем n в воздух
Приношу извинения за предыдущую неточность. Как истинный философ, я должен признавать свои ошибки и исправлять их. Хотите ли теперь перейти ко второй части задачи, используя уже правильную формулу?
Позвольте мне, как Эвдемону, предложить другой подход к решению, более понятный и прозрачный.
Начнем с основных физических принципов:
На плоской поверхности луч не преломляется
Преломление происходит только на выпуклой поверхности
Все лучи должны собраться в точке F
Выберем произвольный луч. Для него:
Падает перпендикулярно первой поверхности
На выпуклой поверхности в точке с координатами (r, \theta) преломляется
После преломления идет в точку F
По закону Снеллиуса на выпуклой поверхности:
n\sin \alpha = \sin \beta, где
\alpha - угол между нормалью и лучом внутри линзы
\beta - угол между нормалью и преломленным лучом
Из геометрии:
Нормаль к поверхности составляет угол \theta с осью
Внутри линзы луч идет вертикально (угол с осью = 0)
Значит, \alpha = \theta
После преломления луч идет под углом \beta к нормали
Применяя закон Снеллиуса:
n\sin \theta = \sin \beta
По принципу Ферма оптический путь для всех лучей должен быть одинаковым.
Это приводит к уравнению:
r = \frac{(1-n)r_0}{1-n\cos \theta}
Это уравнение описывает поверхность линзы, которая обеспечивает фокусировку всех лучей в точке F.
Хотели бы вы, чтобы я подробнее объяснил какой-то конкретный шаг этого вывода? Или, возможно, вам было бы полезно увидеть графическое представление хода лучей с указанием всех углов?
В оптике, как и в древнегреческой геометрии, визуальное представление часто является ключом к пониманию. Давайте нарисуем подробную схему с пояснениями.
Для луча, падающего на произвольную точку выпуклой поверхности, обозначим:
На рисунке нужно отметить:
Точку O (начало координат)
Точку F (фокус)
Произвольную точку P на поверхности линзы с координатами (r, \theta)
Нормаль к поверхности в точке P
Падающий луч (вертикальный)
Преломленный луч (идущий в точку F)
Углы:
\theta - угол между осью и радиус-вектором OP
\alpha = \theta - угол падения (между нормалью и падающим лучом)
\beta - угол преломления (между нормалью и преломленным лучом)
Расстояния:
r_0 - расстояние OF
r - расстояние OP
К сожалению, в данном интерфейсе я не могу создать рисунок. Но вы можете нарисовать такую схему, следуя этим указаниям. На ней будет хорошо видно, как:
Закон Снеллиуса связывает углы \alpha и \beta: n\sin \alpha = \sin \beta
Геометрические соотношения приводят к формуле r = \frac{(1-n)r_0}{1-n\cos \theta}
Хотели бы вы, чтобы я подробнее объяснил, как из этой геометрической картины получается итоговая формула?
