Euler relation в квантовой механике


А так точно можно? Синусное уравнение написали через косинус. А потом использовали уравнение эйлера если даже нет мнимой части. Но написали Re дав понять, что рассматривается только реальная часть. Ну окей. И потом сказали, что рассматривать только действительную часть это слишком сложно поэтому нужно рассматривать все части. И уже Re отсутствует.

1 симпатия

Это просто пространные рассуждения о волновой функции в математике, физике, её видах и т.д. Это не строгие выводы а просто прохладные истории от авторов, мол “вот какие функции описывают волны, а вообще можно и так, в квантовой механике комплексные например”. Поэтому не воспринимай уравнение 2.14 как следствие предыдущих.

1 симпатия

Формулы приведения

Они использовали оператор Re, который берет только действительную часть мнимого числа. Так что запись \cos x = \text{Re}[e^{ix}] вполне математически строгая.

Авторы же прямо говорят: работать математически с выражением \text{Re}[e^{ix}] сложнее, чем работать с e^{ix}. Поэтому давайте работать с e^{ix}, а если нам нужно вернуться в уровень физического смысла, мы в любой момент можем взять действительную часть от выражения с помощью оператора \text{Re}.

Только если речь идет о том что “2.14 не следствие 2.13”. Но то, что делают авторы – довольно распространенный трюк. Все AC цепочки в физике решаются точно так же.

3 симпатии

Я о том, что они не доказывают, что решения полученные таким образом будут подходить. Ну и кванты и AC цепочки всё же отличаются математически. Поэтому в AC мы можем просто отрезать мнимую часть, а в квантах ты еще пояснить должен, можешь ли ты в конкретной задаче отрезать так или нет. Поэтому я и назвал это всё рассуждениями на тему, книга очень легким языком написана и многие вещи просто опущены.

1 симпатия

это да, а что за книга то?

1 симпатия

Thomas Engel. Quantum Chemistry and Spectroscopy. 3rd edition.

Что такое АС цепочка? В гугле выходят электрические цепи

То есть 2,14 это уравнение, которое используют в квантовой химии, а 2,12 в другой сфере?

Просто над уравнением 2,14 написано, что 2,13 может переписана как 2,14

В гугле выходят электрические цепи

AC или же Alternating Current или же источник переменного напряжения. Там напряжение подчиняется закону:

U=U_0 cos(\omega t+ \phi)=U_0e^{i (\omega t+ \phi)}

И то и другое используют и в квантовой сфере и не в квантовой сфере. Тут просто есть много нюансов, которые необходимо обговорить.

Опять же зависит от нюансов. Попробую пояснить без закапывания в математику.
Смотри, у нас большая часть фундаментальных уравнений в физике, являются дифференциальными уравнениями (ДУ) . Среди уже них, можно выделить отдельный класс ДУ, это линейные ДУ (это такие ДУ, у которых любая линейная комбинация решений, является тоже подходящим решением). Уравнение Шредингера в общем случае, это то самое линейное ДУ, оно остается линейным, даже в теории поля, т.к. линейность это самое главное свойство квантовой механики, его главная фича

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r} ,t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)\right ] \Psi(\vec{r} ,t)

Теперь дальше если потенциал V не зависит от времени, то уравнение Шредингера можно представить проще, сделав подстановку \Psi ( \vec{r}, t) = \psi ( \vec{r} \,) {e}^{ - i E t / \hbar}

- {{\hbar}^2 \over 2 m } \Delta \psi (\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi (\vec{r}) = E \psi (\vec{r}) ​

Оно не зависит от времени, и уже является более простой задачей (на самом деле не особо проще).
Самый простой случай выходит, если потенциала V нет вообще, получается очень простое уравнение, аналог волнового, решениями которого уже являются приведенные в твоём учебнике функции. А так как экспонента и косинус, через друг друга выражаются линейно

cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\

То значит решение можно искать в любом виде, в виде комплексной экспоненты просто удобнее, с ней работать легче, легче интегрировать, дифференцировать, легче умножать на другую такую экспоненту. А если захочется красивой картинки, чтобы волновая функция была действительная, можно будет отрезать кусок решения.
Решения для простого случая используют для нахождения решений более сложных (где есть V или где V вообще от времени зависит), но это уже другая история. В случае если есть потенциал, мы уже не можем отделаться только косинусом или синусом, но хотя бы действительную функцию можем представить, красиво комбинируя штуки (например p_x орбиталь на самом деле является линейной комбинацией решений с квантовыми числами l=1 и l=-1), а если V зависит от времени, там уже от комплексности избавиться можно только если повезет с симметрией этого V.

2 симпатии

Получилось очень детально, но качественно)

Я на самом деле никак не понимаю почему вы не хотите принимать оператор Re[] как математическую операцию. Уравнение 2.12 = Re[уравнение 2.14].

Уравнение 2.12 ближе к нашему интуитивному пониманию физического мира. Уравнение 2.14 упрощает математику.