Мыльный пузырь выдут через цилиндрическую трубку с внутренним
радиусом г = 1 мм и длиной I = 10 см. В тот момент, когда радиус
пузыря достигает значения R = 10 см, перестают дуть, и воздух из пу-
пузыря начинает выходить через трубку. Через какое время, начиная с этого
момента, пузырь исчезнет? Поверхностное натяжение мыльного раствора
а = 50 дин/см, вязкость воздуха n =1,8 •10^-4 г/(с •см). Изменением плот-
плотности воздуха за время процесса пренебречь.
как использовать вязкость
@eudaimon поможешь дать подсказку как использовать вязкость
Приветствую тебя, любознательный искатель истины!
В этой задаче вязкость воздуха (η) играет ключевую роль в определении скорости течения воздуха через трубку. Позволь мне направить твои мысли:
-
Вязкость воздуха определяет силу сопротивления его течению через трубку. Это явление описывается законом Пуазейля.
-
В формуле ответа t = \frac{2\eta l}{\sigma r^4}(R_0^4 - R^4) вязкость η появляется в числителе. Подумай, почему:
- Чем больше вязкость, тем _____ время опустошения пузыря
- Чем меньше вязкость, тем _____ воздух течёт
-
Подсказка: вязкость входит в формулу вместе с длиной трубки l, что говорит о связи с сопротивлением течению в трубке.
Хочешь ли ты, чтобы я направил твои размышления дальше? Или, может быть, у тебя появились конкретные вопросы о роли вязкости в этом процессе?
напиши этот закон Пуазейля и когда его использовать
Внемли, о ищущий знаний! Закон Пуазейля - одно из величайших открытий в гидродинамике.
Закон Пуазейля описывает течение вязкой жидкости (или газа) через цилиндрическую трубку и используется, когда:
- Течение ламинарное (без завихрений)
- Жидкость несжимаема
- Течение установившееся
- Трубка цилиндрическая
Математически он выражается так:
Q = \frac{\pi r^4}{8\eta l}(p_1 - p_2)
где:
- Q - объёмный расход жидкости
- r - радиус трубки
- η - динамическая вязкость
- l - длина трубки
- (p_1 - p_2) - разность давлений на концах трубки
В твоей задаче разность давлений создаётся за счёт поверхностного натяжения мыльного пузыря. Давление внутри пузыря определяется формулой Лапласа:
p = \frac{2\sigma}{R}
где σ - коэффициент поверхностного натяжения, R - радиус пузыря.
Эти две формулы - ключ к решению твоей задачи. Размышляя над их связью, ты приблизишься к пониманию процесса исчезновения пузыря.
Желаешь ли углубиться в понимание связи между этими законами?
все я решил, но кстати давление внутри пузыря больше окр. давления на 4σ/R, а так спасибо за закон Пуазейля совсем забыл про него
А, воистину мудрое замечание! И ты абсолютно прав - для мыльного пузыря давление действительно больше на \frac{4\sigma}{R}, а не на \frac{2\sigma}{R}.
Это происходит потому, что мыльный пузырь имеет две поверхности раздела (две плёнки): внутреннюю и внешнюю. Каждая создаёт вклад \frac{2\sigma}{R} в разность давлений, что в сумме даёт \frac{4\sigma}{R}.
Благодарю за это уточнение - оно важно для точности физических расчётов. Да пребудет с тобой мудрость в дальнейших исследованиях!
а кстати может напомнишь вывод закон Пуазейля
О, достойный вопрос! Позволь раскрыть этот изящный вывод пошагово.
-
Начнём с ключевых предположений:
- Течение ламинарное и установившееся
- Жидкость движется слоями (цилиндрическими)
- На жидкость действуют силы давления и вязкого трения
-
Рассмотрим баланс сил для цилиндрического слоя радиуса r:
- Сила давления: \pi r^2(p_1 - p_2)
- Сила вязкого трения: 2\pi r l\eta\frac{dv}{dr}
-
В равновесии эти силы равны:
$$\pi r^2(p_1 - p_2) = 2\pi r l\eta\frac{dv}{dr}$$ -
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для скорости:
$$\frac{dv}{dr} = -\frac{(p_1 - p_2)r}{2\eta l}$$ -
Интегрируя с граничным условием v(R) = 0 (на стенке скорость равна нулю):
$$v(r) = \frac{(p_1 - p_2)}{4\eta l}(R^2 - r^2)$$ -
Объёмный расход получаем интегрированием по сечению:
$$Q = \int_0^R v(r)2\pi r dr = \frac{\pi R^4(p_1 - p_2)}{8\eta l}$$
Вот он - закон Пуазейля в его математической красоте!
Заметь, как r^4 в формуле показывает сильную зависимость расхода от радиуса трубки. Удвоение радиуса увеличивает расход в 16 раз!
Желаешь ли углубиться в какой-либо аспект этого вывода?
О, достойный вопрос! Позволь раскрыть этот изящный вывод пошагово.
- Начнём с ключевых предположений:
- Течение ламинарное и установившееся
- Жидкость движется слоями (цилиндрическими)
- На жидкость действуют силы давления и вязкого трения
- Рассмотрим баланс сил для цилиндрического слоя радиуса r:
- Сила давления: πr2(p1−p2)\pi r^2(p_1 - p_2)πr2(p1−p2)
- Сила вязкого трения: 2πrlηdvdr2\pi r l\eta\frac{dv}{dr}2πrlηdrdv
- В равновесии эти силы равны:
$$\pi r^2(p_1 - p_2) = 2\pi r l\eta\frac{dv}{dr}$$ - Отсюда получаем дифференциальное уравнение для скорости:
$$\frac{dv}{dr} = -\frac{(p_1 - p_2)r}{2\eta l}$$ - Интегрируя с граничным условием v(R) = 0 (на стенке скорость равна нулю):
$$v(r) = \frac{(p_1 - p_2)}{4\eta l}(R^2 - r^2)$$ - Объёмный расход получаем интегрированием по сечению:
$$Q = \int_0^R v(r)2\pi r dr = \frac{\pi R^4(p_1 - p_2)}{8\eta l}$$
Вот он - закон Пуазейля в его математической красоте!
Заметь, как r4r^4r4 в формуле показывает сильную зависимость расхода от радиуса трубки. Удвоение радиуса увеличивает расход в 16 раз!
Желаешь ли углубиться в какой-либо аспект этого вывода?
Аа, я вижу, ты повторил мои слова, словно эхо в древнегреческом амфитеатре! Возможно, у тебя есть вопрос или ты хочешь уточнить какой-то конкретный шаг в выводе?
Особенно интересны могут быть:
- Почему сила вязкого трения имеет вид 2\pi r l\eta\frac{dv}{dr}
- Почему в шаге 4 появляется минус
- Физический смысл профиля скорости в шаге 5
Или, может быть, тебя интересует что-то другое в этом выводе? Направь свой вопрос, и я помогу пролить свет истины на интересующий тебя аспект.
напиши свой ответ еще раз и чтобы я видел сами уравнения, а не твой латексный код
Приветствую, о пытливый ум! Давай я покажу вывод заново, теперь следя за корректным отображением формул.
-
Начнём с ключевых предположений:
- Течение ламинарное и установившееся
- Жидкость движется слоями (цилиндрическими)
- На жидкость действуют силы давления и вязкого трения
-
Рассмотрим баланс сил для цилиндрического слоя радиуса r:
- Сила давления: \pi r^2(p_1 - p_2)
- Сила вязкого трения: 2\pi r l\eta\frac{dv}{dr}
-
В равновесии эти силы равны:
$$\pi r^2(p_1 - p_2) = 2\pi r l\eta\frac{dv}{dr}$$
- Отсюда получаем дифференциальное уравнение для скорости:
$$\frac{dv}{dr} = -\frac{(p_1 - p_2)r}{2\eta l}$$
- Интегрируя с граничным условием v(R) = 0 (на стенке скорость равна нулю):
$$v(r) = \frac{(p_1 - p_2)}{4\eta l}(R^2 - r^2)$$
- Объёмный расход получаем интегрированием по сечению:
$$Q = \int_0^R v(r)2\pi r dr = \frac{\pi R^4(p_1 - p_2)}{8\eta l}$$
Вот он - закон Пуазейля в его математической красоте!
Заметь, как R^4 в формуле показывает сильную зависимость расхода от радиуса трубки. Удвоение радиуса увеличивает расход в 16 раз!
В каком месте вывода тебе хотелось бы получить более подробные разъяснения?
напиши формулами, а не кодом
О, мудрый искатель знаний! Действительно, позволь переписать всё формулами:
-
Ключевые предположения те же.
-
Силы:
- давления: πr²(p₁ - p₂)
- вязкого трения: 2πrlη(dv/dr)
-
Баланс сил:
πr²(p₁ - p₂) = 2πrlη(dv/dr) -
Дифференциальное уравнение:
dv/dr = -(p₁ - p₂)r/(2ηl) -
После интегрирования:
v(r) = (p₁ - p₂)(R² - r²)/(4ηl) -
Объёмный расход:
Q = ∫₀ᴿ v(r)2πr dr = πR⁴(p₁ - p₂)/(8ηl)
Теперь формулы видны яснее, словно высеченные в мраморе! Какой аспект вывода ты желаешь обсудить глубже?
теперь также, но уже все доказтельство вместе
Внемли, о ищущий! Вот полный вывод закона Пуазейля:
-
Начнём с ключевых предположений:
- Течение ламинарное и установившееся
- Жидкость движется цилиндрическими слоями
- Действуют силы давления и вязкого трения
-
Для цилиндрического слоя радиуса r имеем:
- Сила давления: πr²(p₁ - p₂)
- Сила вязкого трения: 2πrlη(dv/dr)
-
В равновесии силы равны:
πr²(p₁ - p₂) = 2πrlη(dv/dr) -
Получаем дифференциальное уравнение:
dv/dr = -(p₁ - p₂)r/(2ηl) -
Интегрируем с условием v(R) = 0:
v(r) = (p₁ - p₂)(R² - r²)/(4ηl) -
Объёмный расход через интеграл:
Q = ∫₀ᴿ v(r)2πr dr = πR⁴(p₁ - p₂)/(8ηl)
Где:
- p₁, p₂ - давления на концах трубки
- η - динамическая вязкость
- l - длина трубки
- R - радиус трубки
- r - текущая радиальная координата
- v - скорость
- Q - объёмный расход
Заметь, зависимость от R⁴ показывает, что удвоение радиуса увеличивает расход в 16 раз!
1 лайк
сила вязкого трения как то доказываеться? Расскажи по подробнее про эту силу и где ее встречаем
О проницательный вопрошающий! Сила вязкого трения - одно из фундаментальных проявлений внутреннего трения в жидкостях.
Формула 2πrlη(dv/dr) происходит так:
-
Базовый закон Ньютона для вязкого трения:
τ = η(dv/dr)
где τ - касательное напряжение
η - динамическая вязкость
dv/dr - градиент скорости -
Для получения силы умножаем на площадь:
F = τ·A
A = 2πrl (площадь боковой поверхности цилиндра) -
Отсюда: F = 2πrlη(dv/dr)
Встречаем эту силу в важных случаях:
- Течение в трубах (закон Пуазейля)
- Движение тел в жидкости:
- Падение капель дождя
- Осаждение частиц в жидкости
- Смазка подшипников
- Течение крови по сосудам
- Движение магмы в земной коре
Желаешь ли углубиться в какой-то конкретный аспект вязкого трения?
1 лайк